Projekčná matica (alebo skrátene tiež projektor) je v lineárnej algebre a matematickej analýze lineárne zobrazenie (lineárny operátor) ${\displaystyle {\mathbf {P} }}$, ktoré je symetrické a idempotentné. Ide o štvorcovú maticu rozmeru ${\displaystyle n\times n}$. Tieto matice majú okrem lineárnej algebry veľký význam napríklad aj v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike, pretože vďaka nim vieme vyjadrovať projekcie vektorov na rôzne lineárne podpriestory.

Definícia

Majme lineárny podpriestor ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subset {\mathbf {R} }^{n}}$. Maticu ${\displaystyle {\mathbf {P} }}$ nazývame projektorom (projekčnou maticou) na tento lineárny podpriestor ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ práve vtedy, ak sú splnené nasledovné podmienky:

1. Matica ${\displaystyle {\mathbf {P} }}$ je symetrická, teda: ${\displaystyle {\mathbf {P} }^{T}={\mathbf {P} }}$
2. Matica ${\displaystyle {\mathbf {P} }}$ je idempotentná, teda: ${\displaystyle {\mathbf {P} }^{2}={\mathbf {P} }}$
3. Projekčná matica ${\displaystyle {\mathbf {P} }}$ zobrazí každý vektor do daného lineárneho podpriestoru, teda: ${\displaystyle \forall {\mathbf {x} }\in R^{n}}$: ${\displaystyle {\mathbf {P} }{\mathbf {x} }\in {\mathcal {A}}}$
4. Každý prvok, ktorý už leží v danom podpriestore ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ zobrazí projekčná matica na ten istý prvok, teda: ${\displaystyle \forall {\mathbf {y} }\in {\mathcal {A}}:{\mathbf {P} }{\mathbf {y} }={\mathbf {y} }}$

Ďalšie vlastnosti

Uvažujme projektor ${\displaystyle {\mathbf {P} }}$ definovaný v definícii vyššie. Ak preň platí ešte nasledovná podmienka:

${\displaystyle \forall {\mathbf {x} },{\mathbf {y} }\in {\mathbf {R} }^{n}:\langle {\mathbf {x} },{\mathbf {P} y}\rangle =\langle {\mathbf {P} x},{\mathbf {y} }\rangle }$

tak hovoríme, že daný projektor je ortogonálny vzhľadom na uvedený skalárny súčin.

Pokiaľ máme maticu ${\displaystyle {\mathbf {M} }}$, ktorá je typu ${\displaystyle n\times m}$, pričom jej hodnosť je ${\displaystyle m}$, tak potom matica ${\displaystyle {\mathbf {P} }}$ určená nasledovným vzťahom:

${\displaystyle {\mathbf {P} }={\mathbf {M} }({\mathbf {M} }^{T}{\mathbf {M} })^{-1}{\mathbf {M} }^{T}}$

je ortogonálny projektor na podpriestor ${\displaystyle {\mathcal {A}}({\mathbf {M} })}$, ktorý je generovaný lineárne nezávislými stĺpcami matice ${\displaystyle {\mathbf {M} }}$, a na ktorom je definovaný skalárny súčin ${\displaystyle \langle {\mathbf {a} },{\mathbf {b} }\rangle ={\mathbf {a} }^{T}{\mathbf {b} }}$.

Zdroj

• ŠTULAJTER, František. Odhady v náhodných procesoch. Bratislava : ALFA – vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 1989. ISBN 80-05-00052-9. Kapitola Vybrané partie z matematiky, s. 288.
• Projection Matrix . mathworld.wolfram.com, . Dostupné online. (po anglicky)
• HARMAN, Radoslav. Mnohorozmerné štatistické analýzy . Katedra aplikovanej matematiky a štatistiky UK v BA, 2013-03-06, . Dostupné online.