Lineárne zobrazenie (alebo tiež lineárny operátor) je abstraktný jav v algebre, ktorý možno chápať v istom zmysle ako funkciu. Lineárne zobrazenie priraďuje vektoru (vzoru) z vektorového priestoru, nový vektor (obraz) z iného resp. rovnakého vektorového priestoru. Každé lineárne zobrazenie možno určiť maticou zobrazenia. Pod pojmom lineárne zobrazenie sa však nechápe len zobrazovanie vektorov, reprezentujúcich súradnice v priestore, ale aj zobrazovanie mnohých iných abstraktných vektorov, napríklad polynómov. Príkladom jednoduchšieho lineárneho zobrazenia môže byť také, ktoré ku každému vektoru priradí jeho dvojnásobok. Oveľa abstraktnejším lineárnym zobrazením je také, ktoré k polynómu priradí jeho deriváciu. Pre názornú predstavu však pomáha obmedzenie na vektorové priestory ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ prípadne ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

Definícia

Nech ${\displaystyle N,M}$ sú vektorové priestory nad telesom ${\displaystyle K}$. Zobrazenie ${\displaystyle \varphi :N\to M}$ sa nazýva lineárne zobrazenie, ak je splnené nasledovné:

${\displaystyle {\begin{array}{ll}({\textrm {i}})&\varphi (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=\varphi (\mathbf {x} )+\varphi (\mathbf {y} )\\({\textrm {ii}})&\varphi (\alpha \cdot \mathbf {x} )=\alpha \cdot \varphi (\mathbf {x} )\end{array}}}$

Príklad

Zobrazenie ${\displaystyle \omega :\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\mathbf {x} \longrightarrow \mathbf {x} +k;\;k\geq 1}$ nie je lineárne. Dôkaz sa dá urobiť priamo z definície lineárneho zobrazenia. Treba dokázať rovnosť (i)
${\displaystyle \omega (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=\mathbf {x} +\mathbf {y} +k}$
${\displaystyle \omega (\mathbf {x} )+\omega (\mathbf {y} )=(\mathbf {x} +k)+(\mathbf {y} +k)=\mathbf {x} +\mathbf {y} +2k}$

Tu ale neplatí ${\displaystyle \omega (\mathbf {x} +\mathbf {y} )\neq \omega (\mathbf {x} )+\omega (\mathbf {y} )}$, pretože ${\displaystyle \mathbf {x} +\mathbf {y} +k\neq \mathbf {x} +\mathbf {y} +2k}$. Dokazovať vlastnosť (ii) už nie je potrebné, keďže dané zobrazenie nie je lineárne.

Matica lineárneho zobrazenia

Lineárne zobrazenie môže byť reprezentované aj určitou maticou. Potom ak ${\displaystyle \varphi }$ je lineárne zobrazenie, možno ho prepísať

${\displaystyle \varphi (\mathbf {x} )=\mathbf {A} \cdot \mathbf {x} ;\;\mathbf {A} =\Vert a_{ij}\Vert _{m,n}}$

Vektor ${\displaystyle \mathbf {x} }$ je chápaný ako matica ${\displaystyle \mathbf {x} =\Vert x_{i}\Vert _{m,1}}$. Tieto matice môžeme násobiť, lebo počet stĺpcov matice ${\displaystyle \mathbf {A} }$ je zhodný s počtom riadkov matice (vektoru) ${\displaystyle \mathbf {x} }$. Výsledkom lineárneho zobrazenia (súčinu matíc) bude vektor typu ${\displaystyle m,1}$. Maticu lineárneho zobrazenia je možné nájsť pomocou vlastnosti

${\displaystyle \varphi (e_{k})=\mathbf {A} \cdot e_{k}=a_{k}}$

kde vektor ${\displaystyle e_{k}}$ je k-ty jednotkový vektor a ${\displaystyle a_{k}}$ je obraz k-teho jednotkového vektora, čo je vlastne k-ty stĺpec matice zobrazenia.

Príklad

Nájdime maticu ${\displaystyle \mathbf {A} }$ lineárneho zobrazenia ${\displaystyle \varphi }$, ktoré ku každému vektoru ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{2}}$ priradí jeho ${\displaystyle \lambda }$-násobok. Najprv sa treba presvedčiť, že dané zobrazenie skutočne spĺňa vlastnosti lineárneho zobrazenia. Podobne ako v prvom príklade treba dokázať rovnosť (i).

${\displaystyle \varphi (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=\lambda (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=\lambda \cdot \mathbf {x} +\lambda \cdot \mathbf {y} }$
${\displaystyle \varphi (\mathbf {x} )+\varphi (\mathbf {y} )=(\lambda \cdot \mathbf {x} )+(\lambda \cdot \mathbf {y} )=\lambda \cdot \mathbf {x} +\lambda \cdot \mathbf {y} }$

Rovnosť teda platí. Teraz treba ešte dokázať vlastnosť (ii). Jednoduchým výpočtom

${\displaystyle \varphi (\alpha \cdot \mathbf {x} )=\lambda (\alpha \cdot \mathbf {x} )=\alpha \cdot \lambda \cdot \mathbf {x} }$
${\displaystyle \alpha \cdot \varphi (\mathbf {x} )=\alpha (\lambda \cdot \mathbf {x} )=\alpha \cdot \lambda \cdot \mathbf {x} }$

Po dokázaní vlastností lineárneho zobrazenia, môžeme hľadať maticu. Stačí zistiť kam sa zobrazia vektory ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}}$ ortonormálnej bázy priestoru ${\displaystyle {\mathbb{R}}^2}$Zdroj:
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.