Vektorový priestor (niekedy sa používa aj pomenovanie lineárny priestor) je abstraktný pojem, ktorý má mnohé použitia v matematike. Je predmetom skúmania algebraickej disciplíny lineárna algebra.

"Vektory" nemusia byť vektormi tak, ako ich chápeme v geometrii, môže to byť ľubovoľný matematický objekt spĺňajúci nasledujúce axiómy vektorového priestoru; napríklad polynómy stupňa ≤n s reálnymi koeficientami z vektorového priestoru.

Definícia

Nech F je pole. Nech V je množina, na ktorej je daná binárna operácia "+", a nech je každému ${\displaystyle c\in F}$, ${\displaystyle \alpha \in V}$ priradený prvok ${\displaystyle c.a\in V}$, pričom:

1) ${\displaystyle (V,+)}$ je komutatívna grupa

pre ľubovoľné ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \in }$ V a c,d ${\displaystyle \in }$ F platí:

2) ${\displaystyle c.(\alpha +\beta )=c.\alpha +c.\beta }$ (distributívny zákon)

3) ${\displaystyle (c+d).\alpha =c.\alpha +d.\alpha }$

4) ${\displaystyle (c.d).\alpha =c(d.\alpha )}$ (asociativita)

5) ${\displaystyle 1.\alpha =\alpha }$

potom ${\displaystyle V}$ je vektorový priestor nad poľom ${\displaystyle F}$.

Vektorové priestory vo fyzike

Bra-Ket formalizmus

Vektory ${\displaystyle \mid \alpha _{i}\rangle }$ tvoria vektorový priestor (alebo lineárny priestor), ak ich ľubovoľná lineárna kombinácia

${\displaystyle \sum _{i}\lambda _{i}\mid \alpha _{i}\rangle }$

patrí taktiež do tohoto priestoru.

Pri aplikáciách v kvantovej mechanike môžu byť koeficienty ${\displaystyle \lambda _{i}}$ komplexné čísla. Priestoru ket-vektorov je antilineárne priradený duálny priestor bra-vektorov:

${\displaystyle \sum _{i}\lambda _{i}\mid \alpha _{i}\rangle \rightarrow \sum _{i}\langle \alpha _{i}\mid \lambda _{i}^{*}}$,

kde hviezdička ${\displaystyle *}$ označuje komplexné združenie. V konkrétnom prípade vlnovej mechaniky sú ket-vektory ${\displaystyle \mid \alpha _{i}\rangle }$ vlnové funkcie ${\displaystyle \phi _{i}}$ a bra-vektory ${\displaystyle \langle \alpha _{i}\mid }$ sú komplexne združené vlnové funkcie ${\displaystyle \psi _{i}^{*}}$. Skalárny súčin

${\displaystyle \langle \alpha ^{'}\mid \alpha \rangle }$

je definovaný pre ľubovoľnú dvojicu ket-vektor ${\displaystyle \mid \alpha \rangle }$ a bra-vektor ${\displaystyle \langle \alpha ^{'}\mid }$. Skalárny súčin je komplexné číslo a má tú vlastnosť, že

${\displaystyle \langle \alpha \mid \alpha ^{'}\rangle =\langle \alpha ^{'}\mid \alpha \rangle ^{*}}$.

Dôsledkom toho je, že ${\displaystyle \langle \alpha \mid \alpha \rangle }$ je reálne číslo. Taktiež požadujeme, aby bolo kladné:

${\displaystyle \langle \alpha \mid \alpha \rangle >0}$.

Za týmto požiadavkom sa skrýva predstava, že ${\displaystyle \langle \alpha \mid \alpha \rangle }$ zodpovedá druhej mocnine dĺžky vektoru ${\displaystyle \mid \alpha \rangle }$. V konkrétnom vyjadrení vlnovej mechaniky zodpovedá skalárny súčin integrálu

${\displaystyle \int \psi ^{'*}\psi ,dx}$, ktorý má zjavne vlastnosť ${\displaystyle \langle \alpha \mid \alpha ^{'}\rangle =\langle \alpha ^{'}\mid \alpha \rangle ^{*}}$, rovnako ako

${\displaystyle \int \psi ^{*}\psi ,dx}$ má vlastnosť ${\displaystyle \langle \alpha \mid \alpha \rangle >0}$, pretože ${\displaystyle \psi ^{*}\psi =\mid \psi \mid ^{2}}$ je kladné.

Vzťah medzi ket-vektormi a fyzikálnymi stavmi zodpovedá tzv. paprskovej reprezentácii. To znamená, že ${\displaystyle \mid \alpha \rangle }$ a ${\displaystyle \lambda \mid \alpha \rangle }$ vyjadrujú rovnaký fyzikálny stav pre ľubovoľné nenulové komplexné číslo ${\displaystyle \lambda }$.

Pozri aj

• Vektor (matematika)
• Vektorový podpriestor