Gramov-Schmidtov ortogonalizačný proces (iné názvy: Gramov-Schmidtov proces ortogonalizácie, Gramova-Schmidtova ortogonalizácia) je proces, ktorým z množiny lineárne nezávislých vektorov priestoru vytvárame jeho ortonormálnu bázu. Ortonormálna báza sa vyznačuje vlastnosťou, že jej vektory majú normovanú jednotkovú dĺžku a navzájom sú ortogonálne. Vektorový priestor dimenzie n môže byť všeobecne generovaný ľubovoľnou n-ticou lineárne nezávislých vektorov. Tieto však majú rôznu orientáciu a nejednotnú dĺžku (normu). Na odstránenie respektíve normalizáciu sa využíva práve spomínaný Gram-Schimdtov ortogonalizačný proces.

Postup ortogonalizácie

V prvom kroku Gramovho-Schmidtovho ortogonalizačného procesu sa pokladá za základ prvý vektor z množiny vektorov, ktoré normalizujeme. Podľa tohto vektora sa odvíja orientácia zvyšných. Ďalším krokom je samotná ortogonalizácia vektorov, a nakoniec normalizácia vektorov. Pre zjednodušenie výpočtov sa vektory normalizujú až na koniec procesu. Tento proces možno popísať ako rekurentný proces.

Vlastnosti a vzťahy

Nech ${\displaystyle {\mathcal {M}}={\text{span}}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\cdots ,\mathbf {x} _{n})}$ je vektorový priestor, ktorý je generovaný lineárne nezávislými vektormi ${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\cdots ,\mathbf {x} _{n}}$. To, že vektory sú lineárne nezávislé znamená, že existuje len triviálna nulová kombinácia koeficientov ${\displaystyle c_{1},c_{2},\cdots ,c_{n}}$, že systém ${\displaystyle \mathbf {X} \mathbf {c} =0}$ má riešenie. Hľadáme také vektory ${\displaystyle \mathbf {y} _{1},\mathbf {y} _{2},\cdots ,\mathbf {y} _{n}}$ s vlastnosťou

${\displaystyle (\mathbf {q} _{i},\mathbf {q} _{j})=\left\{{\begin{array}{ll}1\,;&i=j\\0\,;&i\neq j\end{array}}\right.}$

Odtiaľ vyplýva, že vektory musia byť ortogonálne a musia mať jednotkovú dĺžku. Tieto už budú priamo tvoriť bázu konkrétneho vektorového priestoru.

Proces ortogonalizácie

Ortogonalizácia

Najprv teda položíme ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}=\mathbf {y} _{1}}$. Postupujeme ďalšími vektormi, pričom sú dané rekurentným vzťahom

${\displaystyle \mathbf {y} _{k}=\mathbf {x} _{k}-{\frac {\langle \mathbf {y} _{1},\mathbf {x} _{k}\rangle }{\langle \mathbf {y} _{1},\mathbf {y} _{1}\rangle }}\mathbf {y} _{1}-{\frac {\langle \mathbf {y} _{2},\mathbf {x} _{k}\rangle }{\langle \mathbf {y} _{2},\mathbf {y} _{2}\rangle }}\mathbf {y} _{2}-\cdots -{\frac {\langle \mathbf {y} _{k-1},\mathbf {x} _{k}\rangle }{\langle \mathbf {y} _{k-1},\mathbf {y} _{k-1}\rangle }}\mathbf {y} _{k-1}}$

čo možno ekvivalentne prepísať do sumačného zápisu

${\displaystyle \mathbf {y} _{k}=\mathbf {x} _{k}-\sum _{i=1}^{k-1}{\frac {\langle \mathbf {y} _{i},\mathbf {x} _{k}\rangle }{\langle \mathbf {y} _{i},\mathbf {y} _{i}\rangle }}\mathbf {y} _{i}}$

Treba poznamenať vlastnosť ${\displaystyle k\leq n}$, kde ${\displaystyle n=\dim {\mathcal {M}}}$. Samotný ortogonalizačný proces využíva k ortogonalizácii operátor projekcie, ktorý je definovaný

${\displaystyle {\text{proj}}_{\mathbf {y} }(\mathbf {x} )={\frac {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle }{\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle }}\mathbf {y} }$

Ortogonálnou projekciou vektora ${\displaystyle \mathbf {x} }$ na priestor generovaný vektorom ${\displaystyle \mathbf {y} }$ nazývame vektor ${\displaystyle \mathbf {y} '}$ a platí ${\displaystyle \mathbf {y} '\in {\text{span}}(\mathbf {y} )}$. Týmto spôsobom sa nájde ortogonálna projekcia daného vektora. Vektor ortogonálny na priestor generovaný vektorom ${\displaystyle \mathbf {y} }$ je potom rozdiel ${\displaystyle \mathbf {x} -\mathbf {y} '}$. Platí teda, že skalárny súčin ${\displaystyle \langle \mathbf {x} -\mathbf {y} ',\mathbf {y} \rangle }$ je nulový.

Normalizácia

Ortogonalizované vektory sa následne normalizujú na spoločnú jednotkovú dĺžku. Po tomto, dostaneme výsledný ortonormálny vektor ${\displaystyle \mathbf {q} _{i}}$, preto môžeme písať

${\displaystyle {\mathbf{q}}_{}}$Zdroj:
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.