Vektorový podpriestor alebo lineárny podpriestor je v lineárnej algebre taká podmnožina iného vektorového priestoru, ktorá sama tvorí vektorový priestor.

Definícia

Nech ${\displaystyle V(F)}$ je vektorový priestor a nech ${\displaystyle S}$ je neprázdna podmnožina množiny ${\displaystyle V}$. Potom ${\displaystyle S}$ nazývame podpriestor vektorového priestoru ${\displaystyle V(F)}$ , ak spolu s operáciami ${\displaystyle V(F)}$ tvorí vektorový priestor nad poľom ${\displaystyle F}$ .

Veta

Nech ${\displaystyle V(F)}$ je vektorový priestor a nech ${\displaystyle S}$ je neprázdna podmnožina množiny ${\displaystyle V}$ .Potom ${\displaystyle S}$ je podpriestor práve vtedy, keď pre všetky ${\displaystyle \alpha ,\beta \in S}$ a ${\displaystyle c\in F}$ platí

1. a) ${\displaystyle \alpha +\beta \in S}$
2. b) ${\displaystyle c.\alpha \in S}$

Veta 1

Podpriestory ${\displaystyle A_{r}}$, ${\displaystyle A_{s}}$ majú neprázdny prienik práve vtedy, ak existujú vektory ${\displaystyle {\vec {v}}\in V_{r}}$ a ${\displaystyle {\vec {w}}\in V_{s}}$ také, že platí ${\displaystyle A-B={\vec {v}}+{\vec {w}}}$

Špeciálny prípad vety 1.

Priamky ${\displaystyle p}$ a ${\displaystyle q}$ majú neprázdny prienik práve vtedy, keď vektor A-B je lineárnou kombináciou ${\displaystyle {\vec {u}},{\vec {v}}}$

Dôkaz

1. ${\displaystyle P=A+\alpha .{\vec {v}}}$ , ${\displaystyle P=B+\beta .{\vec {v}}}$
2. ${\displaystyle A+\alpha .{\vec {v}}=B+\beta .{\vec {v}}}$
3. ${\displaystyle A-B=-\alpha .{\vec {v}}+\beta .{\vec {v}}}$

Dôkaz vety 1 urobíme analogicky.

Veta 2

Ak ${\displaystyle A_{r}}$ a ${\displaystyle A_{s}}$ sú podpriestory ${\displaystyle A_{n}}$ s neprázdnym prienikom, tak ich prienik ${\displaystyle A_{r}\cap A_{s}}$ je afinný podpriestor so zameraním ${\displaystyle V_{r}\cap V_{s}}$.

Dôkaz

Vetu 2 dokážeme tak, že ukážeme, že body a vektory z prieniku spĺňajú nasledujúce podmienky:

1. a) Ak body ${\displaystyle M}$ a ${\displaystyle N}$ patria do ${\displaystyle A_{r}\cap A_{s}}$ , tak vektor ${\displaystyle {\vec {u}}=M-N}$ patrí do

${\displaystyle Vr\cap Vs}$.

1. b) Ak bod ${\displaystyle M}$ patrí do ${\displaystyle A_{r}\cap A_{s}}$ a ${\displaystyle {\vec {u}}}$ patrí do ${\displaystyle Vr\cap Vs}$, tak bod ${\displaystyle X=M+{\vec {u}}}$ patrí do ${\displaystyle A_r\cap <!--\; \cap \; -->A_s}$Zdroj:
   Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.

   ---