Regulární^[1], též invertibilní nebo nesingulární matice je v matematice čtvercová matice, která má inverzi. Regulární matice lze charakterizovat několika rovnocennými způsoby. Regulární matice jsou například charakterizovány tím, že lineární zobrazení, které popisují, jsou bijektivní. Proto má soustava lineárních rovnic s regulární maticí soustavy vždy jednoznačné řešení. Množina regulárních matic pevné velikosti nad okruhem nebo nad tělesem, spolu s maticovým součinem jako binární operace, tvoří obecnou lineární grupu.

Ne každá čtvercová matice má inverzi. Čtvercová matice, která nemá inverzní matici, se nazývá singulární matice.^[1]

Definice

Čtvercová matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\in R^{n\times n}}$ s prvky z okruhu ${\displaystyle R}$ s jednotkovým prvkem (v praxi většinou obor reálných čísel ) se nazývá regulární, pokud existuje matice ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}\in R^{n\times n}}$ taková, že

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {A}}=\mathbf {I} }$,

kde ${\displaystyle I}$ označuje jednotkovou matici . Matice ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ je zde jednoznačně určena a nazývá se inverzní matice k matici ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$. Inverzní matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ se obvykle značí ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{-1}}$. Pro singulární matici žádná taková matice ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ neexistuje.

Je ${\displaystyle R}$ komutativní okruh nebo těleso, jsou obě podmínky ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {B}}=\mathbf {I} }$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {A}}=\mathbf {I} }$ ekvivalentní, tj., matice inverzní zleva je inverzní i zprava a naopak. V tomto případě lze podmínku oslabit na ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {A}}=\mathbf {I} }$ nebo ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {B}}=\mathbf {I} }$.

Ukázky

Reálné matice

Matice

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}2&3\\1&2\end{pmatrix}}}$

je regulární, protože má inverzní matici

${\displaystyle {\boldsymbol {B}}={\begin{pmatrix}2&-3\\-1&2\end{pmatrix}}}$ ,

neboť

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {B}}={\begin{pmatrix}2&3\\1&2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}2&-3\\-1&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=\mathbf {I} }$ .

Na druhou stranu, matice

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}2&3\\0&0\end{pmatrix}}}$

je singulární, protože pro jakoukoli matici

${\displaystyle {\boldsymbol {B}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$

platí

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {B}}={\begin{pmatrix}2&3\\0&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2a+3c&2b+3d\\0&0\end{pmatrix}}\neq \mathbf {I} }$ .

Matice nad okruhy

Matice

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}3x^{3}&x^{2}-1\\3x^{2}+3&x\end{pmatrix}}}$

s prvky z polynomiálního okruhu ${\displaystyle R=\mathbb {R} }$ má determinant:

${\displaystyle \det {\boldsymbol {A}}=3x^{3}\cdot x-(x^{2}-1)\cdot (3x^{2}+3)=3}$

Protože prvek ${\displaystyle 3}$ je invertovatelný v okruhu ${\displaystyle R}$, je i matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ regulární v ${\displaystyle R^{2\times <!--\; \times \; -->}}$Zdroj:https://cs.wikipedia.org?pojem=Regulární_matice
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.