V matematice se soustavou lineárních rovnic označuje systém jedné nebo více lineárních rovnic se společnými neznámými.

Příkladem soustavy tří lineárních rovnic o třech neznámých je:

${\displaystyle {\begin{array}{rcrcrcr}3x&+&2y&-&z&=&1\\2x&-&2y&+&4z&=&-2\\-x&+&{\frac {1}{2}}y&-&z&=&0\end{array}}}$

Jsou-li neznámým proměnným přiřazeny hodnoty tak, že všechny rovnice soustavy platí zároveň, nazývá se tato volba hodnot řešením soustavy. V naší ukázce je řešením uspořádaná trojice ${\displaystyle (x,y,z)=(1,-2,-2)}$, protože splňuje všechny tři rovnice současně. Slovo „soustava“ naznačuje, že podmínky dané rovnicemi je třeba splnit najednou, nikoli jen některé.

Soustava lineárních rovnic je ústřední pojem lineární algebry, oboru, který je používán ve mnoha oblastech moderní matematiky. Algoritmy pro nalezení řešení jsou důležitou součástí numerické lineární algebry.

Důležitost této oblasti matematiky spočívá v tom, že fyzikální modely bývají metodou konečných prvků nebo metodou konečných diferencí převáděny na úlohy s obrovskými soustavami lineárních rovnic. Proto hrají metody pro práci s těmito rovnicemi a algoritmy pro řešení těchto rovnic významnou roli ve strojírenství, fyzice, chemii, informatice a ekonomii.

Soustava nelineárních rovnic může být často aproximována lineární soustavou rovnic (viz lineární aproximace), což je užitečná technika při vytváření matematického modelu, počítačové simulace nějakého komplexního systému.

Řešení soustav lineárních rovnic se uplatňuje ve speciálních optimalizačních úlohách nazývaných lineární programování.

Velmi často jsou koeficienty rovnic i hledaná řešení reálná nebo komplexní čísla, ale celá teorie lineární algebry i její algoritmy platí, i když se namísto čísel vezmou prvky libovolného algebraického tělesa. Pro řešení soustav v jiných algebraických strukturách byly vybudovány jiné postupy a jiné teorie. Například pro okruh celých čísel poskytuje celočíselné lineární programování řadu metod pro nalezení „nejlepšího“ celočíselného řešení. Dalším příkladem je teorie Gröbnerových bází, v níž se pro koeficienty i neznámé používají polynomy. Ještě exotičtějším příkladem je tropická geometrie.

Základní ukázky

Triviální příklad

Soustava jedné rovnice o jedné reálné neznámé

${\displaystyle 2x=4}$

má jednoznačné řešení

${\displaystyle x=2.}$

Nicméně, za soustavu bývá zpravidla považován systém s alespoň dvěma rovnicemi.

Jednoduchý netriviální příklad

Nejjednodušší netriviální soustavu lineárních rovnic tvoří dvě rovnice o dvou neznámých, například:

${\displaystyle {\begin{array}{rcrcr}2x&+&3y&=&6\\4x&+&9y&=&15\end{array}}}$

Tuto soustavu lze vyřešit tak, že se z první rovnice vyjádří ${\displaystyle x}$ v závislosti na ${\displaystyle y}$:

${\displaystyle x=3-{\frac {3}{2}}y}$

a tento výraz se dosadí do druhé rovnice:

${\displaystyle 4\left(3-{\frac {3}{2}}y\right)+9y=15.}$

Výsledná rovnice má pouze jednu neznámou ${\displaystyle y}$ s řešením ${\displaystyle y=1}$. Zpětným dosazením do první rovnice lze dopočítat hodnotu neznámé ${\displaystyle x={\frac {3}{2}}}$.

Uvedený postup lze zobecnit pro soustavy s více neznámými (viz odstavec „eliminace neznámých“ níže nebo článek o elementární algebře).

Obecný tvar

Soustava ${\displaystyle m}$ lineárních rovnic o ${\displaystyle n}$ neznámých ^[1] bývá obvykle zapsána ve tvaru

${\displaystyle {\begin{array}{rcr}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots +a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots +a_{2n}x_{n}&=&b_{2}\\&\vdots &\\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\dots +a_{mn}x_{n}&=&b_{m}\\\end{array}}}$

kde proměnné ${\displaystyle x_{1}}$, … ,${\displaystyle x_{n}}$ jsou neznámé a čísla ${\displaystyle a_{ij}}$ jsou koeficienty soustavy. Čísla ${\displaystyle b_{}}$Zdroj:https://cs.wikipedia.org?pojem=Soustava_lineárních_rovnic
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.