Součin matic^[1][2] hovorově též maticové násobení (neplést se skalárním násobkem matice) je v matematice zobecnění součinu čísel na matice. Formálně se dá definovat jako binární operace na maticích odpovídajících typů. Využívá se v matematice, fyzice a jejich aplikacích, obvykle pro popis skládání lineárních zobrazení.

Speciálním případem násobení matic je součin matice typu ${\displaystyle m\times n}$ a vektoru braného jako matice o typu ${\displaystyle n\times 1}$ (sloupcový vektor). Tento součin lze interpretovat jako aplikaci lineárního zobrazení reprezentovaného transformační maticí na vektor.

Formální definice

Pokud je ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ matice typu ${\displaystyle m\times n}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ je matice typu ${\displaystyle n\times p}$, jejich součin ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\cdot {\boldsymbol {B}}}$ je matice typu ${\displaystyle m\times p}$ definovaná vztahem

${\displaystyle ({\boldsymbol {A}}\cdot {\boldsymbol {B}})_{ij}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots +a_{in}b_{nj}.}$

pro všechny prvky výsledné matice indexované ${\displaystyle i\in \{1,\dots ,m\}}$ a ${\displaystyle j\in \{1,\dots ,p\}}$.

Ve většině případů jsou prvky matice čísla, ale mohou to být jakékoli druhy matematických objektů, pro které je definováno sčítání a násobení, které jsou asociativní a takové, že sčítání je komutativní a násobení je distributivní s ohledem na sčítání, typicky prvky nějakého tělesa. Prvky mohou být dokonce samotné matice (bloková matice).

U reálných matic lze prvek v ${\displaystyle i}$-tém řádku a ${\displaystyle j}$-tém sloupci výsledné matice lze také chápat jako standardní skalární součin vektoru ${\displaystyle i}$-tého řádku první matice s vektorem ${\displaystyle j}$-tého sloupce druhé matice.

Tečka ${\displaystyle \cdot }$ se v součinu vynechává a píše se pouze ${\displaystyle {\boldsymbol {AB}}}$.^[2]

Ukázka výpočtu

Součin matic ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}\color {blue}1&\color {blue}2&\color {blue}3\\\color {orange}4&\color {orange}5&\color {orange}6\\\end{pmatrix}}}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}={\begin{pmatrix}\color {red}1&\color {green}2\\\color {red}3&\color {green}4\\\color {red}5&\color {green}6\\\end{pmatrix}}}$ je

${\displaystyle {\boldsymbol {AB}}={\begin{pmatrix}({\color {blue}1}\cdot {\color {red}1}+{\color {blue}2}\cdot {\color {red}3}+{\color {blue}3}\cdot {\color {red}5})&({\color {blue}1}\cdot {\color {green}2}+{\color {blue}2}\cdot {\color {green}4}+{\color {blue}3}\cdot {\color {green}6})\\({\color {orange}4}\cdot {\color {red}1}+{\color {orange}5}\cdot {\color {red}3}+{\color {orange}6}\cdot {\color {red}5})&({\color {orange}4}\cdot {\color {green}2}+{\color {orange}5}\cdot {\color {green}4}+{\color {orange}6}\cdot {\color {green}6})\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}22&28\\49&64\end{pmatrix}}}$

Prvky matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ zůstávají v řádcích tak, jak jsou, a prvky v matici ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ se rozmístí opět do levého a pravého sloupce.

Použití

Historicky bylo násobení matic zavedeno pro usnadnění a objasnění výpočtů v lineární algebře. Tento silný vztah mezi maticovým součinem a lineární algebrou zůstává je fundamentální v celé matematice, stejně jako ve fyzice, chemii, inženýrství a informatice.

Soustavy lineárních rovnic

Zdroj:https://cs.wikipedia.org?pojem=Násobení_matic
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.

---