Pojmem lineární zobrazení (někdy též lineární transformace, angl. linear map, linear mapping, popř. linear transformation) se v matematice označuje takové zobrazení mezi vektorovými prostory X a Y, které zachovává vektorové operace sčítání a násobení skalárem. Název lineární je odvozen z faktu, že grafem lineárního zobrazení z reálných čísel do reálných čísel je přímka, latinsky linea.

Důležitými zástupci lineárních operací jsou například derivování a integrování funkcí. Pomocí lineárních zobrazení lze popisovat i rotace a jednoduché deformace objektů ve vektorových prostorech. Oblast, kde lineární zobrazení nacházejí uplatnění je kvantová mechanika, kde je každý vývoj systému a každé měření popsáno právě pomocí lineárních zobrazení. Kvantová mechanika je sama o sobě natolik významná teorie, že studovat vlastnosti lineárních zobrazení je důležité už pro ni samotnou. Lineární zobrazení obecně zaujímají v matematice a ve fyzice velmi důležité postavení. Jedním z hlavních důvodů je relativní snadnost manipulace s takovýmito zobrazeními. Máme-li nějaké nelineární zobrazení, s nímž se pro jeho příliš složitou strukturu obtížně pracuje, můžeme si v některých případech vypomoci jeho jednodušší linearizovanou variantou. Tento postup se používá ve fyzice, kde rovnice popisující fyzikální děj často nabývají tvaru, který je těžko řešitelný. Po zjednodušení takové rovnice lze problém vyřešit. Ovšem za cenu toho, že dané řešení nepopisuje probíhající fyzikální děj zcela přesně. Podobná metoda nahrazování složitých funkcí jejich lineárními protějšky je používána i v matematice, kde je důvodem opět snazší nakládání s výslednými matematickými výrazy.

Motivace

Než přikročíme k definici je vhodné si uvést příklad jednoduchých funkcí, abstrakcí jejichž vlastností dospějeme právě k obecné definici lineárního zobrazení. Mezi nejjednodušší funkce, které si lze představit, jsou funkce tvaru

${\displaystyle f(x)=ax+b,}$

kde a a b jsou parametry. Jedná se tedy o funkce ${\displaystyle \scriptstyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ na reálných číslech tvaru výše s reálnými parametry a a b, konkrétně např. ${\displaystyle \scriptstyle f(x)=2x+3}$ či ${\displaystyle \scriptstyle f(x)=-{\frac {1}{14}}x+{\frac {3}{4}}}$. Když se tyto funkce vyjádří graficky, je vidět, že jejich grafem je přímka, viz obrázek. Neboť latinské slovo pro přímku zní linea (další významy zahrnují i "čára", "provázek" či "lněná nit"), označují se funkce tohoto tvaru jako lineární. Pokud je parametr b roven nule, tak tato přímka prochází počátkem souřadnic, viz funkci g na obrázku.

Prostudujme nyní v krátkosti základní vlastnosti lineárních funkcí. Uvažujme přitom jen takové lineární funkce, které mají parametr ${\displaystyle \scriptstyle b=0}$, tj. jsou tvaru ${\displaystyle \scriptstyle f(x)=ax}$. Pokud necháme takovéto funkce působit na součet ${\displaystyle \scriptstyle x+y}$ a na násobek ${\displaystyle \scriptstyle \alpha x}$, tak obdržíme

${\displaystyle f(x+y)=a(x+y)=ax+ay=f(x)+f(y),\qquad f(\alpha x)=a(\alpha x)=\alpha (ax)=\alpha f(x).}$

Z řádku výše tedy vidíme obecnou vlastnost funkcí s ${\displaystyle \scriptstyle b=0}$:

${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y),\qquad f(\alpha x)=\alpha f(x)}$.

Jedná se o dvě vlastnosti, první se nazývá aditivita, druhá pak homogenita. První říká, že je jedno, zda nejdříve čísla sečteme a pak na ně aplikujeme funkci, nebo naopak. Druhá vlastnost tvrdí totéž o násobení číslem. Pro matematika to znamená, že úprava matematických vzorců s těmito funkcemi bude z uvedených důvodů velmi snadná. Právě tyto dvě vlastnosti slouží k definici obecného lineární zobrazení tak, jak je podána v následujícím oddíle. Zobrazení splňujících tyto vlastnosti je překvapivě velké množství, viz oddíl Příklady níže.

Uveďme si ještě dvě další zajímavé vlastnosti lineárních funkcí. Když sečteme funkce f a g tvaru ${\displaystyle \scriptstyle f(x)=ax+b}$ a ${\displaystyle \scriptstyle g(x)=cx+d}$, dostaneme funkci ${\displaystyle \scriptstyle h_{1}}$ téhož tvaru:

${\displaystyle h_{1}(x)=f(x)+g(x)=(a+c)x+(b+d)={\tilde {a}}x+{\tilde {b}}}$,

kde v roli parametrů nyní vystupují čísla ${\displaystyle \scriptstyle {\tilde {a}}=a+c}$ a ${\displaystyle \scriptstyle {\tilde {b}}=b+d}$. Když funkci f vynásobíme číslem ${\displaystyle \scriptstyle \alpha }$, obdržíme funkci ${\displaystyle \scriptstyle h_{2}}$, jež je opět lineární, neboť

${\displaystyle h_{2}(x)=\alpha f(x)=(\alpha a)x+(\alpha b).}$

Vidíme tedy, že součtem dvou lineárních funkcí či jejich vynásobením číslem dostaneme opět lineární funkci. Matematicky řečeno je množina lineárních funkcí uzavřená na součet a násobení číslem. Zdůrazněme, že v předchozím odstavci jsme zjišťovali chování jednotlivých funkcí tvaru ${\displaystyle \scriptstyle f(x)=ax}$. O každé takové funkci jsme věděli, že splňuje dvě vlastnosti, aditivitu a homogenitu. Tyto vlastnosti se týkají součtu a násobení argumentu funkce, čísla. V tomto odstavci jsme naproti tomu zjišťovali, co dostaneme součtem či vynásobením dvou takových funkcí.

Definice

Lineární zobrazení

Nechť X a Y jsou vektorové prostory nad týmž tělesem $$Zdroj:https://cs.wikipedia.org?pojem=Lineární_zobrazení
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.