Vlastní vektor lineárního operátoru je nenulový vektor, jehož směr se uplatněním operátoru nemění; může se měnit jeho velikost a orientace, což lze interpretovat jako násobení nenulovým skalárem. Tento skalár se nazývá vlastní číslo (též vlastní hodnota nebo charakteristické číslo) přidružené či příslušné uvažovanému vlastnímu vektoru. Geometricky se transformace vlastního vektoru operátorem projeví zvětšením/zmenšením vektoru buď bez změny orientace (kladné vlastní číslo) nebo s obrácením orientace (záporné vlastní číslo). Množina vlastních vektorů, které náleží stejnému vlastnímu číslu, se nazývá vlastní prostor operátoru přidružený k danému vlastnímu číslu.

Vlastní vektor může mít v konkrétních aplikacích i jiná označení, je například zvykem říkat vlastní řešení (pokud je vektor řešením nějaké rovnice), vlastní funkce (pokud jde o funkci), vlastní stav (pokud vektor popisuje kvantový stav) apod.

Vlastní čísla a vlastní vektory hrají důležitou roli nejen v lineární algebře, ale i funkcionální analýze, kybernetice nebo v kvantové fyzice.

Definice a značení

Vlastní vektor lineárního operátoru ${\displaystyle A}$ je takový nenulový vektor u, pro který existuje číslo ${\displaystyle \lambda }$ tak, že platí:

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {u} =\lambda \mathbf {u} }$.

Číslo ${\displaystyle \lambda }$ se nazývá vlastní číslo (též charakteristické číslo) operátoru ${\displaystyle \mathbf {A} }$ a ${\displaystyle \mathbf {u} }$ vlastní vektor operátoru ${\displaystyle \mathbf {A} }$ příslušný vlastní hodnotě ${\displaystyle \lambda }$.

V kvantové mechanice se často lze setkat se zápisem ${\displaystyle {\hat {A}}u=Au}$ anebo ${\displaystyle {\hat {A}}\,|u\rangle =A\,|u\rangle }$ kde ${\displaystyle {\hat {A}}}$ označuje operátor a A příslušné vlastní číslo. Operátor ${\displaystyle {\hat {A}}}$ je často diferenciální operátor na nějakém prostoru funkcí nebo distribucí.

Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů matice

Nechť ${\displaystyle \mathbf {A} }$ je zadaná reálná nebo komplexní čtvercová matice ${\displaystyle n\times n}$, ${\displaystyle \mathbf {u} }$ je sloupcový vektor délky ${\displaystyle n}$ a ${\displaystyle \lambda }$ je reálné nebo komplexní číslo. Rovnice ${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {u} =\lambda \mathbf {u} }$, jejíž levou stranu chápeme jako násobení matice vektorem a pravou stranu jako násobení skaláru vektorem, obsahuje známou matici ${\displaystyle \mathbf {A} }$ a neznámé veličiny ${\displaystyle \mathbf {u} }$ a ${\displaystyle \lambda }$. Tato maticová rovnice se dá přepsat jako soustava lineárních rovnic

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}a_{ij}u_{j}=\lambda u_{i}}$

pro ${\displaystyle i=1,2,\cdots ,n}$.

Proměnnou ${\displaystyle \mathbf {u} }$ na pravé straně lze pomocí Kroneckerova delta vyjádřit jako

${\displaystyle u_{i}=\sum _{j=1}^{n}u_{j}\delta _{ij}}$

Dosazením do předchozího vztahu pak dostaneme

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}(a_{ij}-\lambda \delta _{ij})u_{j}=0}$,

což lze vyjádřit maticově jako

${\displaystyle (\mathbf {A} -\lambda \mathbf {E} )\cdot \mathbf {u} =\mathbf {0} }$,

kde ${\displaystyle \mathbf {E} }$ je jednotková matice. Na tento vztah lze nahlížet jako na homogenní soustavu lineárních algebraických rovnic o ${\displaystyle n}$ neznámých. Ta má netriviální (nenulové) řešení právě tehdy, když je matice soustavy singulární, tzn. platí

${\displaystyle \det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {E} )=0}$,

což lze rozepsat

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{11}-\lambda &a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}-\lambda &\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}-\lambda \end{vmatrix}}=0}$.

Tato rovnice se nazývá charakteristická rovnice. Rovnice podobného typu bývají také označovány jako sekulární rovnice, protože dříve sloužily k výpočtům pohybů planet (jejich odchylek od eliptických drah).

Polynom na levé straně této rovnice se nazývá charakteristický polynom matice ${\displaystyle \mathbf {A} }$ a jeho kořeny jsou vlastními čísly matice ${\displaystyle \mathbf {A} }$. Proto má matice ${\displaystyle \mathbf {A} }$ vždy ${\displaystyle n}$ vlastních čísel, z nichž se některá mohou opakovat. Počet opakování, tj. násobnost kořene charakteristického polynomu nazýváme algebraickou násobností vlastního čísla.

Vlastní vektory matice ${\displaystyle \mathbf {A} }$ vyhovují rovnici ${\displaystyle (\mathbf {A} -\lambda \mathbf {E} )\cdot \mathbf {u} =\mathbf {0} }$ pro jednotlivá vlastní čísla.

Libovolný nenulový násobek vlastního vektoru je rovněž vlastním vektorem, není však považován za jiný vlastní vektor. Ke kořenu charakteristického polynomu násobnosti ${\displaystyle m}$ existuje nejvýše ${\displaystyle m}$ vzájemně lineárně nezávislých vlastních vektorů. Počet lineárně nezávislých vlastních vektorů odpovídajících vlastnímu číslu ${\displaystyle \lambda }$, tj. ${\displaystyle \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}(\mathcal{N}(\mathbf{A}-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}$Zdroj:https://cs.wikipedia.org?pojem=Vlastní_vektory_a_vlastní_čísla
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.