Polynom (též mnohočlen) je výraz ve tvaru

${\displaystyle p(x)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}x^{i}}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n}}$,

kde ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$. Čísla ${\displaystyle a_{0},a_{1},...,a_{n}}$ se nazývají koeficienty polynomu.

Stupeň polynomu

Stupněm polynomu p(x) rozumíme nejvyšší exponent proměnné x s nenulovým koeficientem, značíme jej st. p(x) nebo deg p(x). Stupeň kvadratického polynomu (např. p(x) = x² – 3x) je tedy 2, stupeň konstantního polynomu (např. p(x) = 7) je 0. Pro nulový polynom (p(x) = 0) se jeho stupeň definuje deg p(x) = ${\displaystyle -\infty }$.

Příklady polynomů

• ${\displaystyle p(x)=8x+3}$ je polynom 1. stupně (lineární polynom)
• ${\displaystyle p(x)=3x^{2}+2x-2}$ je polynom 2. stupně (kvadratický polynom)
• ${\displaystyle p(x)=3x^{3}-8x}$ je polynom 3. stupně (kubický polynom)

Operace s polynomy

Mějme polynom ${\displaystyle n}$-tého stupně ${\displaystyle f(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i},a_{n}\neq 0}$, a polynom ${\displaystyle m}$-tého stupně ${\displaystyle g(x)=\sum _{i=0}^{m}b_{i}x^{i},b_{m}\neq 0}$.

• Oba polynomy se vzájemně rovnají, tzn. ${\displaystyle f(x)=g(x)}$ pro všechna ${\displaystyle x}$ pouze tehdy, je-li ${\displaystyle n=m}$ a pro každé ${\displaystyle i=1,2,...,n}$ platí ${\displaystyle a_{i}=b_{i}}$.

• Sečtením polynomů ${\displaystyle f(x)}$ a ${\displaystyle g(x)}$ získáme polynom

${\displaystyle h(x)=f(x)+g(x)=\sum _{i=0}^{r}(a_{i}+b_{i})x^{i}}$,

kde ${\displaystyle r=max(n,m)}$. Stupeň výsledného polynomu je ${\displaystyle \leq r}$. (Odpovídající koeficienty polynomů ${\displaystyle f(x)}$ a ${\displaystyle g(x)}$ mohou v součtu dávat 0.)

• Součin polynomů ${\displaystyle f(x),g(x)}$ je polynom ${\displaystyle f(x)\cdot g(x)}$, který získáme vzájemným vynásobením jednotlivých členů obou polynomů, přičemž stupeň nového polynomu je ${\displaystyle s=n+m}$.

• Platí tedy, že ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\cdot \sum _{i=0}^{m}b_{i}x^{i}=\sum _{i=0}^{n+m}(\sum _{j=0}^{i}a_{j}\cdot b_{i-j})x^{i}}$.

• Je-li kde ${\displaystyle n\geq m}$, pak existují právě dva polynomy ${\displaystyle r(x),s(x)}$ takové, že platí

${\displaystyle f(x)=g(x)r(x)+s(x)}$

kde ${\displaystyle }$Zdroj:https://cs.wikipedia.org?pojem=Polynom
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.