Toto je archív odporúčaných článkov za rok 2011.

Index

1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52

1/2011

Taylorov rad funkcie f premennej x v bode a je potenčný rad (mocninový rad) so stredom a tvaru

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}}$

pričom

• n=0, 1, 2....
• n sa blíži k nekonečnu
• f⁽ⁿ⁾(a) je n-tá derivácia funkcie f v bode a
• f má v okolí bodu a derivácie všetkých rádov

Taylorov rozvoj (funkcie f premennej x v bode a) je Taylorov rad, pre ktorý platí, že jeho súčet (teda výsledná hodnota) v okolí bodu a sa rovná f(x). Maclaurinov rad je Taylorov rad so stredom v a=0.

Účel

Mnoho značne zložitých funkcií je ťažké predstaviť si, zobraziť ich, prípadne odhadnúť ich funkčné hodnoty. Taktiež elementárne funkcie ako napríklad sínus, cosínus, nadobúdajú najmä iracionálne hodnoty, ktoré nemožno presne vyčísliť, niekedy ani odhadnúť. Formálne definovať tieto základné goniometrické funkcie a mnohé iné umožňuje práve Taylorov rad. Napríklad pre funkciu sínus platí odhad v okolí nuly

${\displaystyle \sin x\approx x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}}$

Táto aproximácia je veľmi silná. Pri výpočte hodnôt funkcie sínus v okolí nuly, možno počítať s veľmi malou chybou. Na prelome 17. a 18. storočia sa viacerí matematici pokúšali nahradiť funkciu nejakou jednoduchšou. Za najjednoduchšie sa všeobecne považujú polynomické funkcie, respektíve polynómy. Vybudovanie teórie, ktorá umožňovala aproximáciu funkcií práve polynómami, však vyžadovala poznatky z vyššej matematiky, hlavne diferenciálneho počtu. Teóriu nezávisle od seba budovali Brook Taylor a Colin Maclaurin. Táto teória umožňuje zapísať, za určitých predpokladov, funkciu ako súčet nekonečného mocninového radu, ktorý sa nazýva Taylorov rad.

Celý článok...

2/2011

Topologický priestor je matematická štruktúra, ktorá umožňuje formalizovať a zovšeobecniť koncepty ako konvergencia, spojitosť, či kompaktnosť. Tieto sú definované na základe vzťahov medzi množinami, na rozdiel od metrických priestorov, kde sa definujú pomocou vzdialenosti. Topologické priestory sa ako formalizácia vyskytujú takmer vo všetkých oblastiach matematiky. Sú predmetom štúdia topológie.

Klasická definícia

Topologický priestor je usporiadaná dvojica ${\displaystyle (X,\tau )}$, kde X je množina a ${\displaystyle \tau }$, ktorej prvky sa nazývajú aj otvorené množiny, je množina podmnožín X, pre ktorú sú splnené nasledujúce tri podmienky:

1. Prázdna množina a množina X sú otvorené, teda

   ${\displaystyle \emptyset \in \tau \qquad X\in \tau .}$

2. Zjednotenie ľubovoľného počtu otvorených množín je otvorená množina, teda pre každé ${\displaystyle S\subseteq \tau }$:

   ${\displaystyle \bigcup _{Y\in S}Y\in \tau .}$

3. Prienik každých dvoch otvorených množín je otvorená množina, teda

   ${\displaystyle A\in \tau \ \land \ B\in \tau \Rightarrow A\cap B\in \tau .}$

Tretia podmienka je ekvivalentná s podmienkou, ktorá hovorí, že prienik ľubovoľného konečného počtu otvorených množín je otvorená množina.

Množina ${\displaystyle \tau }$ sa nazýva aj topológia na množine X, toto pomenovanie má však odlišný význam ako názov topológia v zmysle vedy o topologických priestoroch. Prvky množiny X sa zvyčajne nazývajú body, podmnožiny X patriace do ${\displaystyle \tau }$ sa nazývajú otvorené množiny, každý komplement otvorenej množiny sa nazýva uzavretá množina.

Je dôležité si uvedomiť, že množina uzavretých množín v X nie je to isté ako ${\displaystyle \tau ^{C}}$. Množina totiž môže byť otvorená aj uzavretá súčasne. Takýmito množinami sú napríklad ${\displaystyle \emptyset }$ alebo X, keďže sú komplementárne (pracuje sa s univerzom X) a zároveň otvorené (z definície topologického priestoru).

Celý článok...

3/2011

Lagrangeov polynóm, pomenovaný podľa Josepha Louisa Lagrangea, je v numerickej matematike interpolujúci polynóm pre danú množinu bodov v Lagrangeovom tvare. V roku 1779 ho objavil Edward Waring a v roku 1783 ho znovuobjavil Leonhard Euler.

Je povšimnutia hodné, že pre danú množinu bodov existuje len jeden polynóm (najmenšieho možného stupňa), ktorý interpoluje dané body. Preto je správnejšie o Lagrangeovom polynóme hovoriť ako o Lagrangeovom tvare interpolujúceho polynómu, než o Lagrangeovom interpolujúcom polynóme.

Definícia

Nech je daná množina k + 1 bodov

${\displaystyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{j},y_{j}),\ldots ,(x_{k},y_{k})}$

kde žiadne dve hodnoty ${\displaystyle x_{j}}$ nie sú rovnaké. Potom interpolujúci polynóm v Lagrangeovom tvare pre túto množinu bodov je lineárna kombinácia

${\displaystyle L(x):=\sum _{j=0}^{k}y_{j}\ell _{j}(x)}$

Lagrangeových bázických polynómov

${\displaystyle \ell _{j}(x):=\prod _{f=0,\,f\neq j}^{k}{\frac {x-x_{f}}{x_{j}-x_{f}}}.}$

Je povšimnutia hodné, že za predpokladu, že žiadne dve hodnoty ${\displaystyle x_{i}}$ nie sú rovnaké (a to ani nemôžu byť, keďže by daná úloha nedávala zmysel), platí ${\displaystyle x_{j}-x_{f}\neq 0}$, čiže daný výraz je vždy dobre definovaný.

Celý článok...

4/2011

Riemannov integrál, pomenovaný podľa nemeckého matematika Bernharda Riemanna, je v matematickej analýze historický prvá rigorózna definícia pojmu integrál funkcie na intervale. Aj keď je Riemannov integrál pre niektoré teoretické úlohy menej vhodný, je to jedna z najjednoduchších definícii integrálu. Niektoré z týchto technických ťažkostí sa dajú vyriešiť Riemannovým-Stieltjesovým integrálom a väčšina z nich Lebesgueovým integrálom.

Úvod

Nech ${\displaystyle f(x)}$ je nezáporná reálna funkcia na intervale ${\displaystyle }$ a nech ${\displaystyle S=\{(x,y)|0<y<f(x)\}}$ je plocha pod touto funkciou na intervale ${\displaystyle }$ (pozri Obrázok 2). Zaujíma nás obsah plochy ${\displaystyle S}$. Hneď ako ju vypočítame, označíme ju symbolom:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

Základnou myšlienkou Riemannovho integrálu je použiť veľmi jednoduché aproximácie tejto plochy. Získaním stále lepších a lepších aproximácií môžeme povedať, že "v limite" dostaneme presne plochu ${\displaystyle S}$ pod krivkou.

Je potrebné poznamenať, že na intervaloch, kde funkcia ${\displaystyle f}$ môže nadobúdať tak kladné, ako aj záporné hodnoty, integrál bude korešpondovať so znamienkovým obsahom, čiže obsahom plochy nad osou ${\displaystyle x}$ mínus obsahom plochy pod ňou.

Celý článok...

5/2011

Komplexné čísla sú zovšeobecnením pojmu reálneho čísla. V obore reálnych čísel nemajú všetky polynomiálne rovnice riešenie. Ak sa číslo i definuje ako riešenie rovnice ${\displaystyle x^{2}=-1}$, potom všetky polynomiálne (algebrické) rovnice riešenie mať budú.

Reálne čísla

Reálne čísla sa nachádzajú v jednom rade usporiadané podľa veľkosti. Tento rad reálnych čísel sa nazýva číselná os. Číselná os má rozmedzie od mínus nekonečna až po plus nekonečno. Túto os je možné predstaviť si ako priamku, ktorá leží v rovine. Logicky tak vznikne možnosť, že aj v iných bodoch roviny okrem bodov tejto priamky je možné nájsť nejaké čísla.

Imaginárne čísla

V iných miestach roviny sa nachádzajú čísla, ktoré nazývame imaginárne čísla. Spolu so všetkými reálnymi číslami tvoria množinu všetkých komplexných čísel. Definoval ich nemecký matematik Gauss a podľa neho sa aj táto rovina čísel pomenovala Gaussova rovina. Túto rovinu rozdeľujú dve osi — už spomínaná číselná os, ktorá sa v grafoch stotožňuje s osou x (reálna os) a na ňu kolmú os y (imaginárna os). Obe tieto osi sa pretínajú v bode .

Celý článok...

6/2011

Percento je stotina z celku. Je to spôsob ako vyjadriť časť celku (čiže zlomok) pomocou celého čísla. Zápis napr. „45 %“ (45 percent) je v skutočnosti iba skratka pre zlomok 45/100, tzn. desatinné číslo 0,45. Názov pochádza z per cento, znamenajúceho (pripadajúci) na sto.

Príklady použitia

• 40% alkohol – V každom litri tejto tekutiny je 0,4 litra alkoholu (a zvyšok, čiže 60%, tvoria iné látky – tzv. objemové percento)
• 15% zvýšenie ceny – Po tomto zvýšení stojí daná vec 1,15-násobok pôvodnej ceny; ak bola predtým cena 100 Sk, po zvýšení bude stáť 115 Sk.
• 15% zľava – Po zľave stojí vec 0,85-násobok (= 1 − 0,15) pôvodnej ceny; ak pred zľavou stála 100 Sk, po zľave stojí 85 Sk.
• 125 % priemeru – Daný parameter má hodnotu rovnú 1,25-násobku priemernej hodnoty; ak je priemer 200, má tento parameter hodnotu 250.
• 10 % ľudí… – Na každých 100 ľudí pripadá 10 ľudí, ktorí…
• 100% istota – Úplná istota, ak je pokusov sto, tak všetkých sto pokusov dopadne podľa daného očakávania (pozri aj pravdepodobnosť).
• 50 % – 50/100 = 1/2 = polovica
• 200 % – 200/100 = dvojnásobok

Označenie

Znak „%“ je štylizovaný symbol dvoch núl, v pôvodnej podobe (asi roku 1425) bol využitý podobný symbol (iba s vodorovnou čiarkou namiesto šikmej) pre skrátenie zápisu P cento; písmeno P neskôr vypadlo a používal sa samostatný symbol s vodorovnou čiarkou (asi roku 1650).

V slovenčine sa použitie znaku percenta riadi rovnakými pravidlami ako napr. symbol stupňa, takže napr. 10% (bez medzery medzi číslom a symbolom) znamená desaťpercentný (tzn. prídavné meno), 10 % (s medzerou) znamená desať percent (podstatné meno).

Celý článok...

7/2011upraviť zdroj

Riemannova zeta funkcia alebo Riemannova funkcia zeta je komplexná matematická funkcia pomenovaná po Bernhardovi Riemannovi a označovaná gréckym písmenom ζ, zohrávajúca mimoriadne dôležitú úlohu v analytickej teórii čísel. Má aplikácie aj vo fyzike, v teórii pravdepodobnosti a štatistike. Je ústredným pojmom v tzv. Riemannovej hypotéze, ktorá je jedným z najznámejších otvorených problémov v matematike.

Definíciaupraviť zdroj

Riemannova zeta funkcia je definovaná ako súčet nekonečného radu

${\displaystyle \zeta (s)=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\ldots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},}$

ktorý konverguje pre všetky komplexné čísla s, ktorých reálna časť je väčšia ako 1. Riemann ale navrhol spôsob, ktorým je možné túto definíciu rozšíriť na všetky čísla komplexnej roviny rôzne od 1.

Riemannova zeta funkcia je meromorfná funkcia komplexnej premennej s, ktorá je holomorfná všade okrem bodu s = 1.

Celý článok...

8/2011upraviť zdroj

Integrálna rovnica je v matematike rovnica, v ktorej sa neznáma funkcia nachádza pod integrálom. Integrálne rovnice úzko súvisia s diferenciálnymi rovnicami a niektoré problémy môžu byť formulované oboma spôsobmi (napr. Maxwellove rovnice).

Za zakladateľa teórie integrálnych rovníc sa považuje Erik Ivar Fredholm, neskôr k nej významne prispel Vito Volterra.

Klasifikácia integrálnych rovnícupraviť zdroj

Integrálne rovnice možno rozdeliť na dve základné triedy: Fredholmove integrálne rovnice a Volterrove integrálne rovnice. Pri Fredholmových rovniciach má interval integrácie konštantné hranice, pri Volterrových rovniciach je jedna z hraníc funkciou premennej x.

Ďalšie delenie je na rovnice prvého a druhého druhu. V rovniciach prvého druhu sa neznáma funkcia nachádza len pod integrálom, v rovniciach druhého druhu sa nachádza pod integrálom aj mimo integrálu.

Fredholmove rovnice prvého druhuupraviť zdroj

Najzákladnejším typom integrálnych rovníc sú Fredholmove rovnice prvého druhu. Sú to integrálne rovnice tvaru

${\displaystyle f(x)=\int _{a}^{b}K(x,t)\,\varphi (t)\,dt,}$

kde ${\displaystyle \varphi }$ je neznáma funkcia, f je známa funkcia a K je ďalšia funkcia o dvoch premenných, často nazývaná aj jadrová funkcia. Rozsah integrácie má konštantné hranice.

Celý článok...

9/2011upraviť zdroj

Kombinácia, presnejšie kombinácia k – tej triedy z n prvkov množiny M je ľubovoľná k-prvková podmnožina n-prvkovej množiny M. Počet všetkých kombinácií k-tej triedy sa teda často využíva pri riešení úloh, kde je potrebné zistiť, koľkými spôsobmi možno vybrať spomedzi n prvkov skupinu k prvkov, pričom nezáleží na poradí výberu.

Takto definované kombinácie sa niekedy tiež označujú ako kobinácie bez opakovania, keďže koncept množiny a podmnožiny neumožňuje zachytiť fenomén opakovania prvkov. Existujú však aj kombinácie s opakovaním, ktorých počet je počet možností, ako vybrať k prvkov spomedzi n tak, že sa môžu aj opakovať.

Kombinácie bez opakovaniaupraviť zdroj

Definíciaupraviť zdroj

Kombinácie bez opakovania k-tej triedy z n prvkov množiny M je ľubovoľná k-prvková podmnožina množiny M. Z toho vyplýva, že množinu všetkých kombinácií k-tej triedy z množiny M definujeme ako podmnožinu potenčnej množiny množiny M (označujeme P(M)) takú, že obsahuje práve všetky k-prvkové množiny patriace do tejto potenčnej množiny. Takúto podmnožinu označujeme ${\displaystyle P_{k}(M)}$. Platí teda, že množina všetkých kombinácií bez opakovania k-tej triedy z množiny M je definovaná ako:

${\displaystyle {M \choose k}=P_{k}(M)}$

Celý článok...

10/2011upraviť zdroj

Fraktál je geometrický objekt vybudovaný pomocou rekurzie. Ide o "nepravidelný, fragmentovaný geometrický tvar, ktorý môže byť rozdelený na časti, z ktorých je každá aspoň približne podobná, zmenšená kópia celého geometrického tvaru". Táto vlastnosť tiež býva nazývaná sebepodobnosť.

Najznámejšie fraktály sú Mandelbrotova množina a Juliova množina. Fraktály delíme na prírodné, geometrické, komplexné a náhodné. Termín fraktál použil po prvýkrát matematik Benoît Mandelbrot v roku 1975. Toto slovo pochádza z latinského fractus – rozbitý. Podobné objekty boli známe už aj dlho predtým (napríklad Kochova vločka v roku 1904).

Fraktály sú definované pomerne krátkou rekurzívnou definíciou, ako zakresliť ich body nad množinou komplexných čísel. Ide o objekt, ktorého Hausdorffova miera je väčšia než topologická dimenzia. To znamená, že fraktál nemá ako kocka 3 dimenzie (rozmery), ale jeho dimenzia je zväčša neceločíselná. Obsah fraktálov (resp. objem) je konečný, no ich obvod (resp. povrch) je nekonečný^{[chýba zdroj}. Ide o jedny z najzložitejších geometrických objektov, ktoré súčasná matematika skúma a majú často prekvapivo jednoduchú matematickú štruktúru.

Vlastnosťami fraktálov a ich opisom sa zaoberá vedný obor matematiky nazvaný fraktálna geometria, ktorá sa zaoberá nepravidelnosťou objektu.

Druhy fraktálovupraviť zdroj

Sú známe tieto druhy fraktálnych útvarov:

1. L-systémy
2. IFS
3. TEA
4. Náhodné fraktály
5. Prírodné fraktály – Veľa prírodných tvarov je možné modelovať fraktálnou geometriou, napríklad hory, mraky, snehové vločky, rieky alebo cievny systém. Preto sa často tvary stromov a papradí v prírode modelujú na počítačoch použitím rekurzívnych algoritmov.

Celý článok...

11/2011upraviť zdroj

Lineárny funkcionál alebo lineárna forma alebo konvektor je v matematike lineárne zobrazenie z množiny vektorov daného vektorového priestoru do množiny jeho skalárov. Inými slovami, lineárny funkcionál je funkcionál, ktorý je súčasne lineárnym zobrazením.

Definíciaupraviť zdroj

Nech V je vektorový priestor nad poľom F. Zobrazenie ${\displaystyle f:V\to F}$ sa nazýva lineárny funkcionál vo V, ak platí:

1. ${\displaystyle \mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x,y\in <!--\; \in \; -->V:f(x+y}$Zdroj:
   Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.

   ---