Jako goniometrické funkce se v matematice nazývá skupina šesti funkcí velikosti úhlu používaných například při zkoumání trojúhelníků a periodických jevů. Goniometrické funkce jsou základem goniometrie. Obvykle se definují jako poměr dvou stran pravoúhlého trojúhelníku nebo délky určitých částí úseček v jednotkové kružnici. Jejich modernější definice je založena na nekonečných řadách nebo řešeních určitých diferenciálních rovnic, díky čemuž je lze vztáhnout také ke komplexním číslům. Inverzní funkce k funkcím goniometrickým se označují jako funkce cyklometrické.

Elementárními goniometrickými funkcemi jsou:

	značka a vzorec	jiné značky
sinus	sin[p 1]
kosinus	cos
tangens	tg = sin/cos	tan

Někdy se používají označení také pro jejich převrácené hodnoty:

	značka a vzorec	jiné značky
sekans	sec = 1/cos
kosekans	cosec = 1/sin	csc
kotangens	cotg = cos/sin	cot, cotan

Historicky se používaly zvláštní názvy ještě pro další odvozené funkce:

	značka a vzorec	jiné značky	poloviční hodnota
sinus versus	versin = 1 − cos		haversin = versin/2
kosinus versus	vercosin = 1 + cos		havercosin = vercosin/2
sinus koversus	coversin = 1 − sin	cvs	hacoversin = coversin/2
kosinus koversus	covercosin = 1 + sin		hacovercosin = covercosin/2
exsekans	exsec = sec − 1
exkosekans	excsc = cosec − 1

____________

Definice

Pravoúhlý trojúhelník

Při definici s pomocí pravoúhlého trojúhelníka jsou jednotlivé prvky trojúhelníka ABC následující:

• pravý úhel ${\displaystyle \gamma }$ je při vrcholu C
• určovaným úhlem je úhel ${\displaystyle \alpha }$, vzhledem k němu je
  • strana a označována jako protilehlá odvěsna
  • strana b označována jako přilehlá odvěsna
  • nejdelší strana c je nazývána přepona trojúhelníka

Předpokládá se, že trojúhelník leží v euklidovském prostoru a součet jeho vnitřních úhlů je tak ${\displaystyle \pi }$ radiánů neboli 180 °. Pak:

• Sinus ${\displaystyle \alpha }$ je poměr délky odvěsny protilehlé tomuto úhlu a délky přepony.

${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {a}{c}}}$

• Kosinus ${\displaystyle \alpha }$ je poměr délky odvěsny přilehlé tomuto úhlu a délky přepony.

${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {b}{c}}}$

• Tangens ${\displaystyle \alpha }$ je poměr délek odvěsny protilehlé tomuto úhlu a délky odvěsny k němu přilehlé.

${\displaystyle {\textrm {tg}}\,\alpha ={\frac {a}{b}}={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}}$

• Kotangens ${\displaystyle \alpha }$ je poměr délek odvěsny přilehlé tomuto úhlu a délky odvěsny k němu protilehlé.

${\displaystyle {\textrm {cotg}}\,\alpha ={\frac {b}{a}}={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}}$

• Sekans ${\displaystyle \alpha }$ je poměr délky přepony a délky odvěsny přilehlé tomuto úhlu.

${\displaystyle \sec \alpha ={\frac {c}{b}}={\frac {1}{\cos \alpha }}}$

• Kosekans ${\displaystyle \alpha }$ je poměr délky přepony a délky odvěsny protilehlé tomuto úhlu.

${\displaystyle {\textrm {cosec}}\,\alpha ={\frac {c}{a}}={\frac {1}{\sin \alpha }}}$

Jednotková kružnice

Těchto šest funkcí může být také definováno pomocí jednotkové kružnice, což je kružnice o poloměru jedna se středem v počátku soustavy souřadnic. Tento způsob definice nemá valné praktické využití, koneckonců pro většinu úhlů jde o postup založený na pravoúhlých trojúhelnících. Na druhou stranu jde o postup velmi názorný a umožňující definovat úhly v rozsahu 0 – 2 π a nikoli jen 0 – π /2 radiánů, jako při předchozím postupu. Rovnice jednotkové kružnice je:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1\,}$

Na jednotkovou kružnici jsou vynášeny orientované úhly θ tak, že jejich vrchol je ve středu kružnice a počáteční rameno je totožné s kladnou (pravou) poloosou vodorovné osy souřadnic. Jsou-li velikosti těchto úhlů kladné (větší než nula) je úhel orientovaný proti směru otáčení hodinových ručiček. Jsou-li záporné je úhel orientován ve směru otáčení. Druhé rameno úhlu protíná jednotkovou kružnici v bodě, jehož souřadnice v dané soustavě jsou . Úsečka daná počátkem souřadné soustavy a tímto bodem je přeponou trojúhelníka, jehož odvěsny mají délku x a y. Protože má tato přepona délku 1, tak platí: ${\displaystyle x=\cos \theta }$ a ${\displaystyle y=\sin \theta }$. Pro úhly větší než 2π, nebo menší než −2π, se celkem jednoduše pokračuje v otáčení ramena úhlu kolem středu kružnice. Pak se ovšem hodnoty funkcí sinus a kosinus začnou opakovat – říkáme, že tyto funkce jsou periodické s periodou 2π (360°) a platí:

${\displaystyle \sin \theta =\sin \left(\theta +2\pi k\right)}$

${\displaystyle \cos \theta =\cos \left(\theta +2\pi k\right)}$

kde θ je libovolný úhel a k libovolné celé číslo.

Nejmenší periodou funkcí sin, cos, sec a cosec je plný úhel – tedy 2π radiánů nebo 360 stupňů. Nejmenší periodou funkcí tg a cotg je úhel přímý – π nebo 180°.

Zatímco funkce sinus a kosinus lze sestrojit takto jednoduchým způsobem, konstrukce hodnot ostatních funkcí je o něco složitější. Běžně se používá ještě konstrukce funkcí tangens a kotangens, i když se v českých učebnicích matematiky používá postup trochu jiný, než je ten na sousedním obrázku.

Řady

Za pomoci geometrie a vlastností limit lze ukázat, že derivace sinu je kosinus a derivace kosinu je −sinus. Potom lze pomocí Taylorových řad vyjádřit sinus a kosinus pro všechna komplexní čísla x takto:

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$

${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}}$

Polynomy pro další goniometrické funkce jsou:

${\displaystyle \text{tg}x=x}$Zdroj:https://cs.wikipedia.org?pojem=Goniometrické_funkce
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.

---