Derivace je důležitý pojem matematické analýzy a základ diferenciálního počtu. Derivace funkce je změna (růst či pokles) její hodnoty v poměru ke změně jejího argumentu, pro velmi malé změny argumentu. Výpočet derivace se nazývá derivování. Opačným procesem k derivování je integrování.

Pojem derivace vznikl v 17. století v pracích Newtona a Leibnize při řešení geometrických a fyzikálních problémů. Pro funkci jedné proměnné je derivace funkce v libovolném bodě (pokud existuje) rovna směrnici tečny ke grafu funkce v tomto bodě. Pro funkci popisující dráhu tělesa jako funkci času derivace udává okamžitou rychlost. Podobně, derivace funkce udávající rychlost je zrychlení.

Název derivace je z pozdně-latinského derivare a lze jej přeložit jako odvozenina nebo odvození, srov. např. německý název pro derivaci „Ableitung“. Neříká to sice o vlastnostech derivace mnoho, ale aspoň tolik, že derivace funkce je danou funkcí plně určena, dá se z ní odvodit, je v ní „obsažena“.

Intuitivní výklad

Na obrázku je graf funkce, která má v bodě x hodnotu f(x). V bodě x+Δx má hodnotu f(x+Δx) a spojnice obou bodů tvoří sečnu křivky. Její směrnici (sklon) lze vyjádřit jako poměr (f(x+Δx) - f(x)) / Δx . Budeme-li nyní oba body přibližovat, tj. zmenšovat diferenci Δx až k nule, přejde sečna nakonec v tečnu. Tečna svírá úhel s osou x a tangens tohoto úhlu nazýváme směrnicí tečny. Derivaci funkce v bodě lze s dostatečnou přesností aproximovat právě jako tuto směrnici tečny. Je-li v bodě x křivka rostoucí, bude její derivace >0 a je-li klesající, bude derivace <0. Pokud křivka v bodě x dosahuje maxima nebo minima a tečna je tedy rovnoběžná s osou x, bude derivace rovna nule.

Na dalším obrázku je znázorněná grafická derivace funkce sinus pomocí tečny.

Definice derivace

Historické definice derivace

Historické definice vyjadřovaly derivaci jako poměr, v jakém růst či pokles závislé proměnné y odpovídá změně nezávisle proměnné x. Nejjednodušší představa o derivaci je, že „derivace je mírou změny funkce v daném bodě, resp. bodech“. Pro změnu hodnoty se používá symbol Δ, takže tento poměr lze symbolicky zapsat jako

${\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$.

Derivace je hodnota podílu pro Δx jdoucí k 0. Nahradíme-li konečně malý rozdíl Δx nekonečně malou změnou dx, získáme intuitivní definici derivace

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}}$,

což naznačuje poměr dvou infinitezimálních hodnot. Derivace vskutku je podílem dvou diferenciálních forem – diferenciálu závislé a diferenciálu nezávislé proměnné. Tento (Leibnizův) zápis se čte dy podle dx a chápe buď jako jediný symbol, označující prostě jen derivování funkce y podle proměnné x, anebo opravdu i jako zlomek. V tom případě lze diferenciály chápat buď elementárněji jako diferenciální formy anebo jako nekonečně malé veličiny (v rámci tzv. nestandardní analýzy, kterou pěstoval mj. i český matematik Petr Vopěnka).

Moderní definice derivace

Během vývoje matematiky se intuitivní představa nekonečně malých (infinitezimálních) hodnot ukázala jako nedostatečně přesná a byla nahrazena „ε-δ“ formalismem limit. Nejběžnější moderní definice derivace je

${\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}.}$

Zápis derivace

Derivace se značí několika způsoby (v závorce je čtení zápisu):

• ${\displaystyle f'}$ ,
• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)}$ ,
• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}}$ ,
• ${\displaystyle D_{x}f\quad }$ ,
• ${\displaystyle f_{x}}$ ,
• Newtonova notace používá tečku nad proměnnou: ${\displaystyle {\dot {x}}={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=x'(t)}$, používá se obvykle pouze ve fyzice pro derivování podle proměnné vyjadřující čas (t).

Diferencovatelnost

Ne vždy však limita, která derivaci definuje, existuje a je konečná, tzn. ne každá funkce má v každém bodě derivaci. Pokud je limita nevlastní, pak derivace neexistuje, resp. můžeme říci, že je v daném bodě derivace nevlastní.

Říkáme, že funkce f je v bodě x diferencovatelná, pokud v tomto bodě existuje vlastní derivace.

Funkce je diferencovatelná na intervalu I, pokud je diferencovatelná v každém bodě tohoto intervalu^{[pozn. 1]}.

Funkce nemá derivaci v místě, kde není spojitá, ale spojitost funkce existenci derivace nezaručuje – funkce může mít v daném bodě svislou tečnu (což by odpovídalo nevlastní, nekonečné derivaci), popř. v daném bodě nemusí mít tečnu vůbec (v místě, kde má graf funkce „hrot“, např. funkce absolutní hodnota v x=0). Existují dokonce funkce, které jsou spojité v každém bodě, ale nemají v žádném bodě derivaci (např. tzv. Weierstrassova funkce).

Antiderivace

Z derivace lze naopak získat původní funkci integrováním, pokud známe funkční hodnotu původní funkce aspoň v jednom bodě (tzv. počáteční podmínku).

Zobecnění

Parciální derivace

Zobecněním pojmu derivace pro funkce více proměnných je tzv. parciální derivace, kdy se u funkce více proměnných považuje za proměnnou jenom ta, podle které se derivuje, ostatní jsou v tomto výpočtu považovány za konstanty. Parciální derivace se značí obdobně jako obyčejné derivace, pouze místo symbolů d se používají symboly ∂, např.: ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}}$ značí parciální derivaci funkce ${\displaystyle f}$ podle proměnné ${\displaystyle y}$.

Derivace v normovaných prostorech

Nechť ${\displaystyle X_{1},...,X_{n},Y}$ jsou normované prostory, Říkáme, že zobrazení ${\displaystyle f:X_{1}\times ...\times X_{n}\rightarrow Y}$je Fréchetovsky (Gatteauxovsky) derivovatelné v bodě ${\displaystyle x=(x_{1},...,x_{n})}$ v ${\displaystyle i}$-té souřadnici pokud zobrazení ${\displaystyle f(x_{1},...,x_{i-1},.,x_{i+1},...,x_{n}):X_{i}\rightarrow Y,{\tilde {x}}_{i}\rightarrow f(x_{1},...,x_{i-1},{\tilde {x}}_{i},x_{i+1},...,x_{n})}$(tedy, zobrazení se všemi souřadnicemi FIXOVANÝMI) je F-(G-) diferencovatelné v bodě ${\displaystyle x_{i}}$.

Derivace ve směru

Pro funkci více proměnných je derivace ve směru vektoru v definována vztahem

Zdroj:https://cs.wikipedia.org?pojem=Derivace
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.

---