Komplexní čísla (z latinského complexus, složený) vznikají rozšířením oboru reálných čísel tak, aby v něm každá algebraická rovnice měla příslušný počet řešení podle základní věty algebry. Například kvadratická rovnice x² + 1 = 0 nemá v oboru reálných čísel řešení, protože její diskriminant (−4) je záporný a jeho odmocnina zde není definována. Komplexní číslo má dvě složky, reálnou a imaginární, a zapisuje se nejčastěji jako a + bi, přičemž i znamená imaginární jednotku, definovanou vztahem i² = −1. Zmíněná rovnice pak má dvě řešení, ± i. Pro operace s komplexními čísly platí pravidla pro počítání s dvojčleny. Množinu všech komplexních čísel obvykle značíme ℂ.

Komplexní čísla lze interpretovat geometricky. Zde je příklad v kartézských pravoúhlých souřadnicích. Jako se reálná čísla zobrazují na reálné ose Re, budou imaginární čísla zobrazena na kolmé imaginární ose Im a každé komplexní číslo se zobrazí jako bod v rovině se souřadnicemi . Číslo tvaru je reálné, číslo tvaru je ryze imaginární. Absolutní hodnota komplexního čísla je pak vzdálenost bodu od počátku souřadnic a číslo komplexně sdružené (tj. číslo ) je zrcadlovým obrazem bodu podle reálné osy x, tedy Re.

Komplexní čísla jsou významná nejen v matematice, ale také ve fyzice, především v elektrotechnice, optice a hydrodynamice.

Zápis a související pojmy

Komplexním číslem nazveme číslo tvaru ${\displaystyle a+b\mathrm {i} \,\!}$, kde ${\displaystyle a\,\!}$ a ${\displaystyle b\,\!}$ jsou reálná čísla. Tento tvar komplexního čísla se nazývá algebraický. Písmeno ${\displaystyle \mathrm {i} \,\!}$ značí imaginární jednotku, která se formálně zavádí jako číslo splňující rovnici ${\displaystyle \mathrm {i} ^{2}+1=0\,,}$ tj. jako odmocnina z −1, která v reálných číslech neexistuje.

Reálné číslo ${\displaystyle a\,\!}$ se nazývá reálnou částí tohoto komplexního čísla a reálné číslo ${\displaystyle b\,\!}$ jeho imaginární částí. Pokud je ${\displaystyle b=0\,\!}$, je dotyčné číslo reálným číslem ${\displaystyle a\,\!}$, tj. reálná čísla tvoří podmnožinu čísel komplexních. Pokud je ${\displaystyle a=0\,\!}$, mluvíme o (ryze) imaginárním číslu. Někteří autoři totiž pojmem imaginární číslo rozumí jakékoli komplexní číslo.

Komplexní čísla se používají v elektrotechnice při výpočtech v obvodech střídavého proudu. Protože písmeno ${\displaystyle i}$ se používá pro okamžitou hodnotu proudu, imaginární jednotka se zde značí ${\displaystyle \mathrm {j} }$.

Na pořadí zápisu imaginární části zpravidla nezáleží (${\displaystyle b\mathrm {i} =\mathrm {i} b\,\!}$), ale například v tabulkových procesorech se znak „i“ nebo „j“ dává vždy za číslo, aby nedocházelo k záměnám s adresami buněk ve sloupci I nebo J nebo za elektrický proud.

Značení

Množina všech komplexních čísel se značí obvykle písmenem ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Potřebujeme-li pracovat pouze s reálnou, resp. imaginární částí komplexního čísla ${\displaystyle z\,\!}$, používáme zápis

${\displaystyle a=\mathrm {Re} (z)=\Re (z)}$,

${\displaystyle b=\mathrm {Im} (z)=\Im (z)}$,

kde ${\displaystyle a,b\,\!}$ jsou reálná čísla. Komplexní číslo ${\displaystyle z\,\!}$ lze tedy také vyjádřit některým z následujících zápisů:

${\displaystyle z=a+\mathrm {i} b=\mathrm {Re} (z)+\mathrm {i} \mathrm {Im} (z)=\Re (z)+\mathrm {i} \Im (z)\,\!}$

S imaginární jednotkou se zachází jako s každým jiným číslem, proto je možné používat následujících zkrácených zápisů:

${\displaystyle 0+x\cdot \mathrm {i} =x\cdot \mathrm {i} \,\!}$

${\displaystyle x+0\cdot \mathrm {i} =x\,\!}$

${\displaystyle 1\cdot \mathrm {i} =\mathrm {i} \,\!}$

${\displaystyle -1\cdot \mathrm {i} =-\mathrm {i} \,\!}$

Příklad

Číslo ${\displaystyle z=3+2\mathrm {i} \,\!}$ má reálnou část ${\displaystyle \mathrm {Re} (z)=3\,\!}$ a imaginární část ${\displaystyle \mathrm {Im} (z)=2\,\!}$. Nejedná se ani o reálné, ani o ryze imaginární číslo.

Důvody pro zavedení komplexních čísel

Historie

Už perský matematik Al-Chorezmí (asi 820) poznamenal, že některé kvadratické rovnice nemají reálné řešení, čehož si patrně byli vědomi i jeho předchůdci z Indie. Ačkoliv z dnešního pohledu se takové rovnice považují za řešitelné v komplexním oboru, toto samo o sobě, jako motivace pro zavedení komplexních čísel, nestačilo. Prvními, kdo z dnešního pohledu použili komplexní čísla byli Scipione del Ferro a Niccolò Fontana Tartaglia (kolem 1530), kteří nezávisle na sobě navrhli metodu na řešení kubické rovnice, která, ačkoliv je stále zajímala pouze reálná řešení, vyžaduje jako mezivýpočet použití komplexních čísel. Tartaglia metodu nejprve držel v tajnosti, ale podělil se o ni později, pod slibem mlčenlivosti, s italským matematikem Gerolamem Cardanem. Ten ji spolu s metodou pro řešení kvartické rovnice, objevenou jeho žákem Lodovicem Ferrarim, též využívající komplexní čísla, publikoval v knize Ars Magna (1545), přičemž uvedl, že del Ferro řešení nalezl dříve, než Tartaglia. René Descartes zavedl 1637 označení reálné a imaginární číslo a z jeho práce plyne geometrická interpretace komplexních čísel. Zajímavé výsledky zkoumání těchto „neskutečných“ čísel ukázal Leonhard Euler a komplexní čísla rigorózně zavedl francouzský matematik Augustin Louis Cauchy (1821) a nezávisle na něm Carl Friedrich Gauss (1831).

Matematická motivace

Obor reálných čísel, který vyjadřuje dostatečně dobře jakoukoliv kvantitu (množství), se tedy rozšiřuje do oboru komplexních čísel, jejichž význam není intuitivně příliš zřejmý, především proto, že v reálném oboru neleží řešení (kořeny) některých algebraických rovnic, čili obor reálných čísel není vzhledem k nim uzavřený.

V oboru reálných čísel existují polynomy (s reálnými koeficienty a nezápornými celočíselnými exponenty), které nemají v oboru reálných čísel žádný kořen, případně je počet jejich reálných kořenů nižší než stupeň polynomu.

Obor komplexních čísel je uzavřený nejen na výše uvedené kořeny polynomů s reálnými koeficienty, ale i na kořeny polynomů s komplexními koeficienty. Tuto uzavřenost vyjadřuje základní věta algebry, která říká, že polynom n-tého stupně má v oboru komplexních čísel n kořenů (pokud počítáme jejich násobnost – polynom ${\displaystyle x^{2}-2x+1}$ má dvojnásobný kořen x=1, protože jej lze rozložit na ${\displaystyle (x-1).(x-1)}$).

V dnešní době je komplexní analýza důležitým matematickým prostředkem s četnými aplikacemi v různých jiných odvětvích matematiky, včetně například teorie čísel, vedoucí k výsledkům, které jsou bez použití komplexních čísel zcela nedostupné, nebo obtížněji dostupné.

Příklad

Polynom ${\displaystyle x^{2}+1\,\!}$ nemá v oboru reálných čísel žádný kořen. V oboru komplexních čísel jsou jeho kořeny čísla ${\displaystyle \mathrm {i} \,\!}$ a ${\displaystyle -\mathrm {i} \,\!}$, protože:

${\displaystyle \mathrm {i} ^{2}+1=-1+1=0\,\!}$

${\displaystyle (-\mathrm {i} )^{2}+1=-1+1=0\,\!}$

Technické aplikace

I samotné značení vyplývající z použití komplexních čísel může často zjednodušit a zpřehlednit zápisy a výpočty v některých případech, kde není zcela nutné, jako například Fourierovy řady. To má technické aplikace ve zpracování signálu a výpočtu střídavých elektrických obvodů. Aparát komplexních čísel hojně využívá teorie kvantové fyziky, kde vlnová funkce nabývá hodnot v komplexním oboru.

Operace s komplexními čísly

Algebraický tvar komplexních čísel

Pro čísla v algebraickém tvaru lze jednoduchými algebraickými úpravami odvodit vztahy pro součet, rozdíl a součin dvou komplexních čísel:

${\displaystyle (a+\mathrm{i}b}$Zdroj:https://cs.wikipedia.org?pojem=Komplexní_číslo
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.

---