Asociativita	Neutrální prvek	Inverzní prvek	Komutativita
Abelova grupa	Ano	Ano	Ano	Ano
Grupa	Ano	Ano	Ano	Ne
Monoid	Ano	Ano	Ne	Ne
Pologrupa	Ano	Ne	Ne	Ne
Lupa	Ne	Ano	Ano	Ne
Kvazigrupa	Ne	Ne	Ano	Ne
Grupoid	Ne	Ne	Ne	Ne

Struktury s jednou binární operací

Grupa je v matematice algebraická struktura tvořená množinou spolu s binární operací, která je asociativní, má neutrální prvek a každý prvek má svou inverzi. Matematická disciplína zabývající se studiem grup se nazývá teorie grup. Příkladem grup jsou celá čísla s operací sčítání, nenulová racionální čísla s operací násobení, symetrie pravidelných geometrických útvarů, množiny regulárních matic a automorfismy různých algebraických struktur.

Teorie grup vznikla počátkem 19. století. U jejího zrodu stál matematik Évariste Galois, který dokázal, že polynomiální rovnice nelze obecně řešit pomocí odmocnin. Grupy našly později uplatnění také v geometrii, teorii čísel, algebraické topologii a dalších matematických oborech. Klasifikace jednoduchých konečných grup byla dokončena koncem 20. století a patří k největším výsledkům matematiky vůbec.

Pojem grupy abstraktně popisuje či zobecňuje mnoho matematických objektů a má významné uplatnění i v příbuzných oborech – ve fyzice, informatice a chemii. Reprezentace grup hrají důležitou úlohu v teoriích jako jsou částicová fyzika, kvantová teorie pole anebo teorie strun. V informatice se grupy vyskytují například v kryptografii, kódování anebo zpracování obrazu, chemie používá grupy pro popis symetrií molekul a krystalových mřížek v krystalografii.

Definice grupy

Grupou nazýváme množinu ${\displaystyle G}$ spolu s binární operací na ní, která se nazývá grupová operace. Tato operace libovolným dvěma prvkům grupy ${\displaystyle a,b}$ přiřazuje prvek téže grupy ${\displaystyle c}$. Značení grupové operace se v literatuře liší. Obvykle se značí jako násobení ${\displaystyle c=a\cdot b}$, resp. jenom ${\displaystyle c=ab}$, v Abelových grupách často jako sčítání ${\displaystyle c=a+b}$, a někdy také pomocí dalších symbolů (${\displaystyle a\circ b}$, resp. ${\displaystyle a*b}$). Podle kontextu říkáme, že ${\displaystyle c}$ je složení, resp. součin, resp. součet prvků ${\displaystyle a}$ a ${\displaystyle b}$. Dále se v definici grupy požaduje, aby grupová operace splňovala určité vlastnosti, které se nazývají axiomy grupy.^[1]

Uzavřenost

Pro všechny prvky ${\displaystyle a,b}$ v ${\displaystyle G}$ je i složení ${\displaystyle a\cdot b}$ prvkem ${\displaystyle G}$.^{[pozn 1]}

Asociativita

Pro všechny prvky ${\displaystyle a,b,c}$ grupy ${\displaystyle G}$ platí ${\displaystyle a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c}$, tj. výsledek složení tří prvků nezávisí na umístění závorek.^{[pozn 2]} Díky tomu má smysl psát složení tří a více prvků ${\displaystyle a\cdot b\cdot c}$ i bez závorek.

Existence neutrálního prvku

Existuje prvek ${\displaystyle e\in G}$ takový, že pro všechna ${\displaystyle a\in G}$ platí ${\displaystyle a\cdot e=e\cdot a=a}$. Tento prvek se nazývá neutrální prvek anebo jednotkový prvek a značí se také ${\displaystyle 1}$, resp. ${\displaystyle 1_{G}}$.^{[pozn 3]}

Existence inverzního prvku

Pro každý prvek grupy ${\displaystyle a}$ existuje prvek ${\displaystyle b}$ takový, že ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a=e}$, tj. jejich složení v libovolném pořadí je rovno neutrálnímu prvku ${\displaystyle e}$. Prvek ${\displaystyle b}$ se také nazývá inverzní prvek k ${\displaystyle a}$ a značí se ${\displaystyle a^{-1}}$. Lze ukázat, že neutrální prvek je v grupě jenom jeden a že inverzní prvek k ${\displaystyle a}$ je dán jednoznačně.

V grupách obecně záleží na pořadí, ve kterém prvky skládáme, tj. obecně nemusí platit ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$. Grupa, ve které tato rovnost platí pro všechna ${\displaystyle a,b}$, se nazývá komutativní grupa nebo také Abelova grupa.

Množina ${\displaystyle G}$Zdroj:https://cs.wikipedia.org?pojem=Řád_grupy
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.