Tento článek není dostatečně ozdrojován, a může tedy obsahovat informace, které je třeba ověřit.

Jste-li s popisovaným předmětem seznámeni, pomozte doložit uvedená tvrzení doplněním referencí na věrohodné zdroje.

Analytická geometrie (také souřadnicová geometrie nebo kartézská geometrie) je část geometrie, která zkoumá geometrické útvary v euklidovské geometrii pomocí algebraických a analytických metod.

V analytické geometrii jsou geometrické útvary v prostoru vyjadřovány čísly a rovnicemi ve zvolených souřadnicových soustavách. Mnohé problémy analytické geometrie jsou úzce svázány s lineární algebrou.

Historie

Za zakladatele analytické geometrie je považován René Descartes, který publikoval základní metody v roce 1637 ve svém spisu La Géométrie.

Analytická geometrie v Euklidovském prostoru

V euklidovském prostoru obvykle máme danou soustavu souřadnic ${\displaystyle \{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}}$ bodů i vektorů. Velikost vektoru ${\displaystyle (v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})}$ je ${\displaystyle {\sqrt {v_{1}^{2}+\ldots +v_{n}^{2}}}}$ a skalární součin vektorů ${\displaystyle (v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})\cdot (w_{1},\ldots ,w_{n})=v_{1}w_{1}+\ldots v_{n}w_{n}}$. Přímky jsou dány jako množiny ${\displaystyle \{a+t\mathbf {v} ;\,t\in \mathbb {R} \}}$ kde a je bod a v vektor. V dvourozměrném prostoru je navíc definována kružnice jako množina bodů v rovině, které mají stejnou vzdálenost od jednoho bodu ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ (středu kružnice). Její rovnice je ${\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=r^{2}}$. Takto popsaný prostor, ve kterém můžeme definovat přímky, body, úhly a vzdálenosti pomocí rovnic a souřadnic, tvoří model pro euklidovské geometrie.

Vzájemná poloha geometrických útvarů

Vzájemnou polohu geometrických útvaru popsaných rovnicemi lze obvykle určit z vlastností těchto rovnic, resp. z (ne)existence jejich řešení.

Vzájemná poloha bodu a křivky

Bod může ležet buď mimo křivku, nebo na ní.
Bod A leží na křivce p pokud dosazením souřadnic bodu do rovnice křivky získáme rovnost.

${\displaystyle A,p(y_{1},\ldots ,y_{n})=0,A\in p\Leftrightarrow p(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}$

Vzájemná poloha bodu a přímky

Pokud bod leží na přímce, rozděluje ji takto na dvě polopřímky. Bod ležící mimo přímku s ní určuje jednu rovinu.
Obdobně jako u obecné křivky, bod A leží na přímce p pokud dosazením souřadnic bodu do rovnice přímky získáme rovnost.

${\displaystyle A,p:a_{1}y_{1}+\ldots +a_{n}y_{n}+d=0,A\in p\Leftrightarrow a_{1}x_{1}+\ldots +a_{n}x_{n}+d=0}$

Leží-li bod mimo přímku, je možno určit jejich vzájemnou vzdálenost.

Vzájemná poloha bodu a kružnice

Obecný bod může ležet

• uvnitř kružnice (vzdálenost středu kružnice a bodu je menší než poloměr)
• na kružnici (vzdálenost středu kružnice a bodu je rovna poloměru)
• vně kružnice (vzdálenost středu kružnice a bodu je větší než poloměr)

Vzájemnou polohu bodu a kružnice určuje tzv. mocnost ${\displaystyle m}$ bodu ke kružnici. Máme-li kružnici určenou vztahem ${\displaystyle {(x-x_{0})}^{2}+{(y-y_{0})}^{2}=r^{2}}$, pak mocnost bodu ${\displaystyle }$ k této kružnici se určí jako

${\displaystyle m={(x^{\prime }-x_{0})}^{2}+{(y^{\prime }-y_{0})}^{2}-r^{2}}$

Pro ${\displaystyle m=0}$ leží bod na kružnici, pro ${\displaystyle m>0}$ leží bod vně kružnice a pro ${\displaystyle m<0}$ uvnitř kružnice.

Vzájemná poloha dvou přímek

V rovině

Rovnoběžky v rovině jsou přímky, které mají stejný směr a nemají žádný společný bod. Speciálním případem je totožnost. Dále různoběžky jsou přímky, které se protínají právě v jednom bodě – průsečíku. Ten je tedy jejich jediným společným bodem.

Dvě přímky v rovině se dají popsat jako množina bodů ${\displaystyle x,y}$ splňujících rovnice

${\displaystyle y=k_{1}x+q_{1}}$

${\displaystyle y=k_{2}x+q_{2}}$

Podmínka rovnoběžnosti je ${\displaystyle k_{1}=k_{2}}$. Přímky jsou kolmé, pokud jejich směrnice ${\displaystyle k_{1},k_{2}}$Zdroj:https://cs.wikipedia.org?pojem=Vzájemná_poloha_rovin
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.