Model (také struktura) je matematický pojem z oblasti matematickologické sémantiky. Je to seskupení objektů, na němž jsou definovány nějaké vztahy (relace) a přiřazení (funkce) tak, že vytváří „realizaci“ nějaké formální teorie.

Definice

Model jazyka

Struktura pro jazyk L (také model jazyka L), který obsahuje z mimologických symbolů konstantní symboly ${\displaystyle c_{\alpha };\alpha \in I_{K}}$, funkční symboly ${\displaystyle \,f_{\alpha }}$ četností ${\displaystyle n_{\alpha };\alpha \in I_{F}}$ a predikátové symboly ${\displaystyle \,p_{\alpha }}$ četností ${\displaystyle n_{\alpha };\alpha \in I_{P}}$, je množina ${\displaystyle A}$ nazývaná nosič struktury spolu s konstantami ${\displaystyle C_{\alpha }\in A;\alpha \in I_{K}}$, funkcemi ${\displaystyle F_{\alpha }:A^{n_{\alpha }}\rightarrow A;\alpha \in I_{F}}$ a relacemi ${\displaystyle P_{\alpha }\subseteq A^{n_{\alpha }};\alpha \in I_{P}}$. Konstanta ${\displaystyle \,C_{\alpha }}$, resp. funkce ${\displaystyle \,F_{\alpha }}$, resp. relace ${\displaystyle \,P_{\alpha }}$ se nazývá realizací konstantního symbolu ${\displaystyle \,c_{\alpha }}$, resp. funkčního symbolu ${\displaystyle \,f_{\alpha }}$, resp. predikátového symbolu ${\displaystyle \,p_{\alpha }}$ v modelu ${\displaystyle A}$ a značí se ${\displaystyle \,c_{\alpha }^{A}}$, resp. ${\displaystyle \,f_{\alpha }^{A}}$, resp. ${\displaystyle \,p_{\alpha }^{A}}$. Struktura s nosičem ${\displaystyle A}$ (a příslušnými realizacemi symbolů) se obvykle značí ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$.

Méně formálně: Jazyk L obsahuje pouze symboly pro konstanty, funkce a predikáty a arity funkcí a predikátů. Model jazyka L přidává množinu ${\displaystyle A}$ (nosič struktury, např. množinu přirozených čísel) a dodává symbolům jazyka L jejich realizace.

Tarského definice pravdy

V tomto odstavci značí ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ model jazyka L s mimologickými symboly popsanými výše. Ohodnocení proměnných v modelu ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ je každá funkce ${\displaystyle e}$ z množiny všech proměnných do nosiče ${\displaystyle A}$. Ohodnocení, které se shoduje s ohodnocením ${\displaystyle e}$ na všech proměnných kromě ${\displaystyle x}$ a na ${\displaystyle x}$ má hodnotu ${\displaystyle a}$, značíme ${\displaystyle e(x/a)}$.

Realizace termu

Realizace termu ${\displaystyle t}$ jazyka L při ohodnocení proměnných ${\displaystyle e}$ v modelu ${\displaystyle A}$, značíme ${\displaystyle \,t^{A}\langle e\rangle }$, se definuje indukcí dle složitosti takto:

• ${\displaystyle \,t^{A}\langle e\rangle =e(x)}$, je-li ${\displaystyle t}$ proměnná ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle \,t^{A}\langle e\rangle =c_{\alpha }^{A}}$, je-li ${\displaystyle t}$ konstantní symbol ${\displaystyle \,c_{\alpha }}$
• ${\displaystyle t^{A}\langle e\rangle =f_{\alpha }^{A}(t_{0}^{A}\langle e\rangle ,\ldots ,t_{n_{\alpha }-1}^{A}\langle e\rangle )}$, je-li ${\displaystyle t=f_{\alpha }(t_{0},\ldots ,t_{n_{\alpha }-1})}$ a ${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n_{\alpha }-1}}$ jsou termy

Platnost formule

Platnost formule ${\displaystyle \,\varphi }$ jazyka L při ohodnocení proměnných ${\displaystyle e}$ v modelu ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ definujeme indukcí dle složitosti takto (${\displaystyle \,\varphi }$ platí v ${\displaystyle \mathcal{A}}$Zdroj:https://cs.wikipedia.org?pojem=Model_(logika)
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.