Postupnosť (symbol je ${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }}$ alebo len (a_n) či {a_n} ) je ľubovoľná funkcia - f(n) - , ktorej definičný obor je podmnožina prirodzených čísel (n je teda prirodzené číslo). Konkrétnu hodnotu f(n) nazývame n-tý člen postupnosti a značíme a_n.

Konečná postupnosť je ľubovoľná funkcia s definičným oborom {1, 2, ..., m}, kde m je prirodzené číslo. Nekonečné postupnosti majú ako definičný obor celú množinu prirodzených čísel.

Ak sú členmi postupnosti čísla, hovoríme o číselnej postupnosti alebo postupnosti čísiel, ak sú členmi postupnosti funkcie, hovoríme o funkcionálnej postupnosti.^[1]

Vlastnosti

Postupnosť je

• neklesajúca, ak pre všetky i platí ${\displaystyle a_{i}\geq a_{i-1}}$,
• nerastúca, ak pre všetky i platí ${\displaystyle a_{i}\leq a_{i-1}}$,
• rastúca, ak pre všetky i platí ${\displaystyle a_{i}>a_{i-1}}$,
• klesajúca, ak pre všetky i platí ${\displaystyle a_{i}<a_{i-1}}$,
• zdola ohraničená v množine A, ak existuje také ${\displaystyle L\in {\mathit {A}}}$, že pre všetky i platí ${\displaystyle a_{i}\geq L}$,
• zhora ohraničená v množine A, ak existuje také ${\displaystyle K\in {\mathit {A}}}$, že pre všetky i platí ${\displaystyle a_{i}\leq K}$.

Ak je postupnosť nerastúca alebo neklesajúca, hovoríme, že je monotónna, ak je rastúca alebo klesajúca, je rýdzo monotónna.

Ak je postupnosť zároveň zdola aj zhora ohraničená, hovoríme, že je ohraničená.^[2]

Limita

Hovoríme, že postupnosť

• konverguje, ak má konečnú limitu (napr. ${\displaystyle 1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\ldots }$ konverguje k 0),
• diverguje, ak má nekonečnú limitu (napr. ${\displaystyle 1,2,3,\ldots }$ diverguje k ${\displaystyle \infty }$),
• osciluje, ak limitu nemá (napr. ${\displaystyle 1,-1,1,-1,\ldots }$).

Vybraná postupnosť

Ak je ${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }}$ postupnosť (všeobecne reálnych) čísiel a ${\displaystyle (k_{n})_{n=1}^{\infty }}$ rastúca postupnosť prirodzených čísiel, potom výraz ${\displaystyle (a_{k_{n}})_{n=1}^{\infty }}$ nazývame vybraná postupnosť (alebo čiastočná postupnosť) z ${\displaystyle a_{n}}$ (inými slovami, z ${\displaystyle a_{n}}$ vyškrtneme niektoré členy, napr. všetky nepárne).

Platí Bolzano-Weierstrassova veta: Ak je ${\displaystyle {\mathit {(}}a_{n})}$ ohraničená postupnosť v ${\displaystyle \mathbb {R} }$, potom z nej možno vybrať postupnosť ${\displaystyle {\mathit {(}}a_{k_{n}})}$, ktorá je konvergentná.^[3][4]

Referencie

Pozri aj

• Cauchyovská postupnosť
• Aritmetická postupnosť
• Geometrická postupnosť
• Rad