Geometrická postupnosť je postupnosť nenulových čísel (väčšinou reálnych alebo komplexných), pričom hodnota n-tého člena sa rovná q-násobku predchádzajúceho člena. Číslo q, nazývajúce sa kvocient, môžeme určiť pomerom dvoch za sebou idúcich členov postupnosti. Vo všeobecnosti je geometrická postupnosť tvorená q-násobkami nenulového čísla a:

${\displaystyle a,\ aq,\ aq^{2},\ aq^{3},\ aq^{4},\ \ldots }$

Ľubovoľný n-tý člen tejto postupnosti môžeme určiť nasledovne (ak označíme ${\displaystyle a=a_{0}}$):

${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}q,}$

${\displaystyle a_{n}=a_{0}q^{n}.}$^[1][2]

Nekonečný súčet členov geometrickej postupnosti sa nazýva geometrický rad, ktorý v prípade absolútnej hodnoty kvocientu menšej ako 1 konverguje rovnomerne a absolútne,^[3] platí pritom

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }aq^{n}={\frac {a}{1-q}}.}$

Uvažujme geometrickú postupnosť s nenulovým počiatočným členom ${\displaystyle a_{0}=a}$ a takým kvocientom ${\displaystyle q}$, ktorý nie je rovný nule ani jednotke. Potom pre ľubovoľný n-tý člen (kde n je prirodzené číslo alebo nula), ktorý vo všeobecnosti môže byť komplexným číslom, platí:

1. ${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}q\ ,}$ pre ${\displaystyle n>0;}$
2. ${\displaystyle a_{n}=a_{0}q^{n};}$
3. ${\displaystyle a_{n}=a_{m}q^{n-m};}$
4. ${\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}^{2}}{a_{n-2}}},}$ pre ${\displaystyle n>1;}$
5. ${\displaystyle \sum _{n=0}^{k}a_{n}=\sum _{n=0}^{k}aq^{n}=a{\frac {q^{k+1}-1}{q-1}}.}$

Prvá vlastnosť je len definícia geometrickej postupnosti. Pri dôkazoch ostatných vlastností budeme využívať dôkaz matematickou indukciou.

Dokážme druhú vlastnosť pomocou matematickej indukcie. Pre ${\displaystyle n=0}$ platí

${\displaystyle a_{0}q^{0}=a_{0}=a.}$

Vezmime ďalej ${\displaystyle n=k+1}$ a predpokladajme, že tvrdenie pre ${\displaystyle n=k}$ platí, potom

${\displaystyle a_{0}q^{k+1}=a_{0}q^{k}q=a_{k}q=a_{k+1},}$

čo sme chceli ukázať.

Pri dôkaze tretej vlastnosti postupujeme obdobne. Vezmime ${\displaystyle m}$ ľubovoľné, ale fixné prirodzené číslo. Potom pre ${\displaystyle n=0}$ máme

${\displaystyle a_{m}q^{0-m}={\frac {a_{0}q^{m}}{q^{m}}}=a_{0}.}$

Pre ${\displaystyle n=k+1}$ za predpokladu pravdivosti pre ${\displaystyle n=k}$ máme

${\displaystyle a_{m}q^{k+1-m}=a_{m}q^{k-m}q=a_{k}q=a_{k+1}.}$

V súlade s dôkazom matematickou indukciou ukážeme najprv platnosť pre ${\displaystyle n=2}$:

${\displaystyle \frac{{}_{}^{}}{}}$Zdroj:
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.