Ludolfovo číslo, značené π (čteme pí) je matematická konstanta, která udává poměr obvodu jakéhokoli kruhu v eukleidovské rovině k jeho průměru; také je to hodnota poměru obsahu kruhu ke čtverci jeho poloměru. Její hodnota v desítkové soustavě je přibližně 3,141592653589 (lze použít praktické racionální aproximace 22/7 pro orientační výpočty vyžadující přesnost hodnoty pouze na setiny resp. 355/113 pro přesnost pouze na miliontiny). Mnoho matematických, vědeckých a inženýrských rovnic obsahuje pí, což z něj dělá jednu z nejdůležitějších matematických konstant.^[1]

π je iracionální číslo, což znamená, že nemůže být vyjádřeno zlomkem m/n, kde m je celé číslo a n je přirozené číslo. To také znamená, že jej nelze vyjádřit konečným způsobem v desítkové soustavě, a to ani pomocí periody. Navíc je π dokonce transcendentní číslo, z čehož mimo jiné vyplývá, že ho nelze vyjádřit konečně dlouhou řadou algebraických operací s celými čísly; důkaz tohoto tvrzení byl výsledkem německé matematiky 19. století. V dějinách matematiky se objevují snahy o čím dál přesnější vyjádření π a pochopení jeho povahy; fascinace tímto číslem se promítla i mimo sféru matematiky.

Nejspíše pro jednoduchost své definice se π promítlo do populární kultury více než téměř všechny jiné matematické konstrukty.^[2] Stalo se nejspíše nejběžnějším společným tématem mezi matematiky a nematematiky.^[3] Zprávy o nejnovějším, nejpřesnějším odhadu π se běžně objevují v tisku.^[4][5][6][7] V srpnu 2021 např. vědci z Univerzity aplikovaných věd ve švýcarském Graubuendenu publikovali rekord v nejpřesnějším odhadu π v desítkové soustavě, který má 62,8 bilionu číslic; výpočet trval 108 dní a devět hodin.^[8]

Konstantě se říká Ludolfovo číslo po Ludolphovi van Ceulenovi. Spíše historické (ale např. v angličtině používané) je označení Archimédova konstanta po Archimédovi ze Syrakus.^[9]

Základy

Písmeno π

Řecké písmeno π (pí) pro označení tohoto čísla použil poprvé velšský matematik William Jones v roce 1706 jako zkratku řeckého slova pro obvod, řecky: περίμετρος (perimetros).^[10] Toto označení zpopularizoval Leonhard Euler v roce 1737.^[11]

Geometrická definice

V eukleidovské geometrii je π definováno jako poměr délky o kružnice k jejímu průměru d:^[10]

${\displaystyle \pi ={\frac {o}{d}}.}$

Poměr o/d je konstantní, nezávisí na obvodu kružnice. Pokud má například kružnice dvakrát větší průměr než druhá, má také dvakrát větší obvod.

π může být také definováno jako poměr obsahu S kruhu ke čtverci poloměru r kružnice:^[10][12]

${\displaystyle \pi ={\frac {S}{r^{2}}}.}$

Tyto definice závisí na důsledcích eukleidovské geometrie, třeba že všechny kružnice jsou si podobné a že pravé strany těchto dvou rovnic jsou si rovné (resp. že: ${\displaystyle S={\frac {or}{2}}}$). Tyto dvě geometrické definice mohou narazit na problémy v oblastech matematiky, která jindy geometrii nepoužívá. Z tohoto důvodu matematici často dávají přednost definici π bez geometrie. Využívají k tomu matematickou analýzu. Často se π definuje jako dvojnásobek nejmenší kladné hodnoty x, pro kterou je goniometrická funkce cos(x) rovna nule.^[13]

Iracionálnost a transcendentnost

π je iracionální číslo, což znamená, že ho nelze vyjádřit podílem dvou celých čísel. Je to také transcendentní číslo, což znamená, že neexistuje polynom s racionálními koeficienty, pro který by π bylo kořenem.^[14] Jedním z důsledků transcendentnosti je, že π nelze zkonstruovat kružítkem a pravítkem (euklidovsky). Protože souřadnice všech bodů, které mohou být konstruovány eukleidovskou konstrukcí, jsou konstruovatelná čísla, nelze např. provést kvadraturu kruhu, což znamená, že pouze pomocí kružítka a pravítka nelze zkonstruovat čtverec, jehož obsah je stejný jako obsah daného kruhu.^[15] To je důležitý důkaz, protože kvadratura kruhu je jeden z tří geometrických problémů pocházejících už z antického Řecka.^[16][17]

Vyjádření v desítkové soustavě

Prvních 50 desetinných míst π v desítkové soustavě je:^[18][19]

π = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510…

Na různých internetových stránkách se vyskytuje mnohem více číslic čísla π.^[20] 14. března 2019 Emma Harukaová Iwaová představila hodnotu π na 31,416 bilionů desetinných míst. Výpočet trval 121 dní na 25 počítačích.^[21][22]Tento počin je zapsán v Guinnessově knize rekordů.^[23] I když bylo π spočítáno na více než bilion (10¹²) číslic,^[24] v aplikované matematice se většinou používá zaokrouhlení pouze na několik desítek desetinných míst. Například 11 desetinných míst π stačí na odhad délky kružnice, která je velká jako Země, s chybou menší než jeden milimetr a 39 desetinných míst stačí na jakoukoli představitelnou aplikaci.^[25][26] NASA ve svých výpočtech používá 15 desetinných míst.^[22]

Protože π je iracionální číslo, číslice v jeho desetinném rozvoji se nikdy nezačnou opakovat. Sled těchto číslic fascinuje matematiky i laiky a během posledních pár století se vkládají snahy do vypočítání více číslic π a zkoumání jeho vlastností.^[27] Zatím se ale nepodařilo najít žádný vzor, podle kterého by se číslice opakovaly.^[28]

Odhad π

Číselná soustava	Aproximace ${\displaystyle \pi }$
Dvojková	11,00100 10000 11111 10110…[29]
Osmičková	3,11037 55242 10264 30215…
Desítková	3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288…
Šestnáctková	3,243F6 A8885 A308D 31319…[30]
Racionální aproximace	3, 22⁄7, 333⁄106, 355⁄113, 103993⁄33102, …[31] (seřazeno od méně přesné k přesnější aproximaci)
Řetězový zlomek	[32] (Tento zlomek není periodický. Zobrazeno v lineárním zápisu.)

1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989 3809525720 1065485863 2788659361 5338182796 8230301952 0353018529 6899577362 2599413891 2497217752 8347913151 5574857242 4541506959

Prvních 1120 desetinných míst čísla π správně určili v roce 1948 John Wrench a Levi Smith pomocí kalkulačky. Byl to nejpřesnější odhad π před příchodem počítačů.[33]

Nejhrubější odhad π je 3. Tato hodnota může stačit u případů, kde není potřeba velké přesnosti. Je to poměr obvodu vepsaného pravidelného šestiúhelníku k průměru kružnice.

π se dá odhadnout narýsováním kružnice, změřením jejího průměru a její délky a následným vydělením délky průměrem. Další způsob, který navrhl Archimédés,^[34] je spočítat obvod o_n pravidelného mnohoúhelníku s n stranami s vepsanou kružnicí o průměru d. Potom lze vytvořit limitu posloupnosti, kde se n přibližuje nekonečnu:

${\displaystyle \pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {o_{n}}{d}}.}$

Čím více má mnohoúhelník stran, tím menší je jeho největší vzdálenost od kružnice. Archimédés určil přesnost tohoto způsobu porovnáním obvodu mnohoúhelníku opsaného kružnici s obvodem mnohoúhelníku se stejným počtem stran vepsaného kružnici. S použitím mnohoúhelníku s 96 stranami spočítal rozsah, v kterém π leží:^[35]

${\displaystyle 3+{\tfrac {10}{71}}<\pi <3+{\tfrac {10}{70}}.}$

π lze také spočítat čistě matematickými metodami. Protože je transcendentní, nelze ho vyjádřit pomocí algebraické rovnice, v níž by se vyskytovaly jen racionální koeficienty.^[14] Vyjádření pomocí elementární aritmetiky často obsahuje řady nebo sumační značení (např. „…“), což naznačuje, že vzorec je ve skutečnosti vzorcem pro nekonečnou řadu aproximací π.^[36] Čím více prvků sumace obsahuje, tím přesnější bude odhad.

Vzorce k vypočítání π mají požadované matematické vlastnosti, ale jsou těžko pochopitelné bez znalosti trigonometrie. Některé jsou ale jednodušší, například Leibnizova řada:^[37]

${\displaystyle \pi =4\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-\cdots .\!}$

I když je tuto řadu jednoduché napsat a spočítat, nemusí být zpočátku jasné, proč je její výsledek π. Navíc je tak zdlouhavá, že je potřeba téměř 300 prvků, aby vyšla správně první dvě desetinná místa π.^[38] Když se ale řada upraví, lze π počítat mnohem rychleji. Vezměme si posloupnost

${\displaystyle \pi _{0,1}={\frac {4}{1}},\ \pi _{0,2}={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}},\ \pi _{0,3}={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}},\ \pi _{0,4}={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}},\cdots \!}$

a poté definujme

${\displaystyle \pi _{i,j}={\frac {\pi _{i-1,j}+\pi _{i-1,j+1}}{2}}{\text{ pro }}i,j\geq 1.}$

Poté výpočet ${\displaystyle \pi _{10,10}}$ zabere stejně času, jako výpočet 150 prvků původní řady, a ${\displaystyle \pi _{10,10}=3.141592653\ldots }$, což je správnost na 9 desetinných míst. Tato úprava se nazývá van Wijngaardenova transformace.^[39]

Aproximace 355/113 (3,1415929…), která dává správně prvních 7 číslic π, se dá získat ze řetězového zlomku a je to nejlepší aproximace π vyjádřená zlomkem s maximálně čtyřcifernými čísly; další lepší aproximace je až 52163/16604 (3,141592387…).^[31]

Historie

Starověk

O znalosti π se spekuluje již u starověkých Egypťanů v období Staré říše, a to na základě rozměrů pyramid, ve kterých je údajně zakódováno. Velká pyramida v Gíze zkonstruovaná někdy mezi lety 2589–2566 př. n. l. byla postavena s obvodem 1760 loktů a s výškou 280 loktů; poměr 1760/280 = 44/7 ≈ 2π. Stejné proporce byly zvoleny při dřívější stavbě pyramidy Meidum (zhruba 2613–2589 př. n. l.). Někteří egyptologové to považují za záměr architektů. Miroslav Verner napsal: „Můžeme usoudit, že i když Egypťané neuměli přesně určit hodnotu π, v praxi ho používali.“^[40] Podobný názor zastával i William Flinders Petrie.^[41] Jiní tvrdí, že starověcí Egypťané o pí nevěděli a do svých staveb se ho tudíž nesnažili promítnout. Pyramidy mohly být stavěny jednoduše podle poměrů stran pravoúhlých trojúhelníků.^[42] Jinou možností je vysvětlení výskytu čísla pí jako důsledku použité metody měření (vytyčování vzdáleností). Délkové míry se měřily odvalením kola, výškové pak jeho přikládáním na sebe. Tímto dojde automaticky k promítnutí čísla pí do poměru výšky a strany pyramidy. Pyramida tak byla stavěna s jednoduchými mírami: 280 „výškových loktů“ a 280 „délkových loktů“.

Nejstarší písemně doložené odhady π se datují do doby okolo 1900 př. n. l.; jsou to 256/81 (Egypt) a 25/8 (Babylon), oba méně než 1 % vzdálené od skutečné hodnoty.^[10][43] Indický text Šatapatha Brahmana dává odhad 339/108 ≈ 3,139. Pasáže v 1. knize královské 7:23 a 2. knize kronik 4:2 mluví o obřadním bazénu v paláci krále Šalomouna, který má průměr deset loktů a obvod třicet loktů; někteří z toho usuzují, že autoři přisuzovali pí hodnotu okolo tří, ale jiní se to snaží vysvětlit šestiúhelníkovým bazénem.^[44]

Archimédés (287–212 př. n. l.) byl první, kdo odhadl π důsledně. Uvědomil si, že hodnota může být ohraničena shora i zespoda vepsáním a opsáním pravidelných mnohoúhelníků do kružnice a vypočtením jejich obvodů. Použitím 96úhelníků dokázal, že 223/71 < π < 220/70. Průměr těchto hodnot je zhruba 3,14185.^[45]

Ptolemaios udává ve svém Almagestu hodnotu 3,14167, kterou možná získal od Apollónia z Pergy.^[46]

Okolo roku 265 poskytl Liou Chuej, matematik z říše Cchao Wej, jednoduchý a důsledný opakující se algoritmus pro výpočet π s libovolnou přesností. Sám vypočítal hodnotu pro 3072úhelník a získal hodnotu 3,1416.^[47] Později vynalezl rychlejší metodu, kterou získal hodnotu 3,14 s použitím 96úhelníku.>

Okolo roku 480 čínský matematik Cu Čchung-č’ pomocí metody Liou Chueje ukázal, že π ≈ 355/113 a 3,1415926 < π < 3,1415927. Použil k tomu 12288úhelník. Tato hodnota zůstala nejpřesnější dlouhých 900 let.^[47]

Zdroj:https://cs.wikipedia.org?pojem=Pí_(číslo)
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.

---