Pravidelný mnohoúhelník

Pravidelné konvexní mnohoúhelníky
Obsah	; s je délka strany, n je počet vrcholů/úhlů
Grupa symetrie	Dihedrální (Dn)
Úhel u vrcholu	°
Součet vnitřních; úhlů	°

Pravidelné konvexní mnohoúhelníky

Pravidelný mnohoúhelník je mnohoúhelník, který má všechny úhly stejně velké a všechny strany stejně dlouhé. Může být konvexní nebo hvězdicový.

Obecné vlastnosti

Tyto vlastnosti se týkají i konvexních i hvězdicových pravidelných mnohoúhelníků.

Všechny vrcholy pravidelného mnohoúhelníku leží na stejné kružnici (kružnice opsaná). Společně se stejnou délkou stran to znamená, že má i kružnici vepsanou, která se dotýká každé strany v jejím středu.
Pravidelný n-úhelník je konstruovatelný Eukleidovskou konstrukcí tehdy a jen tehdy, když jsou liché dělitele n různá Fermatova prvočísla.
Pravidelné mnohoúhelníky jsou symetrické.
Pravidelný n-úhelník má n os souměrnosti, je-li n sudé číslo, pak má i střed souměrnosti.

Pro každý pravidelný konvexní n-úhelník platí, že každý vnitřní úhel je veliký

(1-{\frac {2}{n}})\times 180

(neboli

(n-2)\times {\frac {180}{n}}

) stupňů

neboli

{\frac {(n-2)\pi }{n}}

radiánů

a každý vnější úhel (doplňkový k vnitřnímu úhlu) je veliký ${\frac {360}{n}}$ stupňů.

Pro $n>2$ je počet úhlopříček ${\frac {n(n-3)}{2}}$ .

Pro n-úhelník vepsaný do jednotkové kružnice je součin vzdáleností od jednoho vrcholu ke všem ostatním vrcholům (včetně sousedních) je rovný n.

Poloměr kružnice opsané pravidelnému mnohoúhelníku s délkou strany s je:

r={\frac {s}{2\sin {\frac {180}{n}}}}

Poloměr kružnice vepsané pravidelnému mnohoúhelníku s délkou strany s je:

\varrho ={\frac {s}{2\tan {\frac {180}{n}}}}

Pozn.: Délka poloměru kružnice vepsané se rovná délce apotémy, což je úsečka spojující střed se středem libovolné strany

Obsah S pravidelného konvexního n-úhelníku s délkou strany s a poloměry kružnic opsané r a vepsané $\varrho$ je:^[1]

S={\frac {1}{4}}ns^{2}{\text{cotg}}{\tfrac {\pi }{n}}={\frac {1}{2}}nr^{2}\sin {\tfrac {2\pi }{n}}={\frac {1}{2}}ns\varrho

Pro pravidelné mnohoúhelníky se stranou s=1 jsou obsahy následující

Strany	Název	Přesná plocha	Přibližná plocha
n	pravidelný n-úhelník	${\tfrac {n}{4}}{\text{cotg}}{\tfrac {\pi }{n}}$
3	rovnostranný trojúhelník	${\frac {\sqrt {3}}{4}}$	0,433012702
4	čtverec	1
5	pravidelný pětiúhelník	${\frac {1}{4}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}$	1,720477401
6	pravidelný šestiúhelník	${\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}$	2,598076211
7	pravidelný sedmiúhelník		3,633912444
8	pravidelný osmiúhelník	$2+2{\sqrt {2}}$	4,828427125
9	pravidelný devítiúhelník		6,181824194
10	pravidelný desetiúhelník	${\frac {5}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$	7,694208843
11	pravidelný jedenáctiúhelník		9,365639907
12	pravidelný dvanáctiúhelník	$6+3{\sqrt {3}}$	11,19615242
13	pravidelný třináctiúhelník		13,18576833
14	pravidelný čtrnáctiúhelník		15,33450194
15	pravidelný patnáctiúhelník	${\frac {15}{4}}{\sqrt {7+2{\sqrt {5}}+2{\sqrt {15+6{\sqrt {5}}}}}}$	17,64236291
16	pravidelný šestnáctiúhelník	$4(1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}})$	20,10935797
17	pravidelný sedmnáctiúhelník		22,73549190
18	pravidelný osmnáctiúhelník		25,52076819
19	pravidelný devatenáctiúhelník		28,46518943
20	pravidelný dvacetiúhelník	$5(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}})$

Pravidelné konvexní mnohoúhelníky
Obsah	$S={\tfrac {1}{4}}ns^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}$ s je délka strany, n je počet vrcholů/úhlů
Grupa symetrie	Dihedrální (D_n)
Úhel u vrcholu	$\left(1-{\frac {2}{n}}\right)\times 180^{\circ }$ °
Součet vnitřních úhlů	$\left(n-2\right)\times 180^{\circ }$ °