↓ × →	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	−1	k	−j
j	j	−k	−1	i
k	k	j	−i	−1
Tabuľka násobenia kvaterniónov. Prvok vľavo sa násobí prvkom hore. Platí ${\displaystyle a\mathbf {b} =\mathbf {b} a}$ a ${\displaystyle -\mathbf {b} =(-1)\mathbf {b} }$ pre ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} }$.

Kvaternióny^[1] (z lat. quaterniōn – štvorica)^[2] sú v matematike nekomutatívnym rozšírením poľa komplexných čísel do štyroch rozmerov.^[3][4] Zvyčajne sa zapisujú v podobe

$${\displaystyle a+b\ \mathbf {i} +c\ \mathbf {j} +d\ \mathbf {k} ,}$$

kde koeficienty ${\displaystyle a,b,c,d}$ sú reálne čísla a 1, i, j, k sú základné vektory alebo základné prvky.^[5]

Prvýkrát kvaternióny opísal William Rowan Hamilton v roku 1843.^[6][7][3] Najprv boli považované za nevhodné a umelo vykonštruované objekty, pretože porušovali komutatívny zákon, ab = ba, postupne ale našli uplatnenie tak v teoretickej fyzike, ako aj v aplikovanej matematike (hoci sa často ich použitiu možno za určitú cenu vyhnúť pomocou vektorov). V skutočnosti je medzi kvaterniónmi a štvorrozmernými vektormi principiálny rozdiel: operácia delenia je medzi dvoma kvaterniónmi definovaná, zatiaľ čo medzi dvoma vektormi táto operácia vôbec neexistuje.

Definícia

Zatiaľ čo komplexné čísla sú vytvorené z reálnych pridaním prvku i spĺňajúceho i² = −1, kvaternióny sú vytvorené pridaním prvkov i, j a k tak, že sú splnené nasledujúce vzťahy.

${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1}$

${\displaystyle {\begin{matrix}ij&=&k,&&&&ji&=&-k,\\jk&=&i,&&&&kj&=&-i,\\ki&=&j,&&&&ik&=&-j.\end{matrix}}}$

Každý kvaternión je lineárnou kombináciou prvkov 1, i, j a k, čo znamená, že ich možno zapísať ako a + bi + cj + dk kde a, b, c a d sú reálne čísla.

Príklad

Nech

${\displaystyle {\begin{matrix}x&=&3+i\\y&=&5i+j-2k\end{matrix}}}$

Potom (pri násobení sa využívajú vzťahy uvedené vyššie)

${\displaystyle {\begin{matrix}x+y&=&3+6i+j-2k\\\\xy&=&(3+i)(5i+j-2k)=15i+3j-6k+5i^{2}+ij-2ik\\&=&15i+3j-6k-5+k+2j=-5+15i+5j-5k\\\end{matrix}}}$

Základné vlastnosti

Množina kvaterniónov sa v matematike typicky označuje písmenom ${\displaystyle \mathbb {H} }$ (podľa objaviteľa Hamiltona).

Kvaternióny sú asociatívna podielová algebra nad telesom reálnych čísel. Je na nich definované (pravé a ľavé) delenie a ako množina spolu so sčítanim, násobením a delením tvorí teleso. Je nekomutatívne, jeho centrum je ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Pre kvaternión ${\displaystyle h=a+bi+cj+dk}$ definujme jeho konjugáciu ako ${\displaystyle {\bar {h}}\equiv a-bi-cj-dk}$. Platí, že súčin ${\displaystyle h{\bar {h}}={\bar {h}}h=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}$ je nezáporné reálne číslo a je rovné nule iba pre nulový kvaternión ${\displaystyle h=0}$.

Inverzný prvok ku kvaterniónu ${\displaystyle h}$ je kvaternión ${\displaystyle h^{-1}={\bar {h}}/(h{\bar {h}})}$ (delenie reálnym číslom ${\displaystyle h{\bar {h}}}$ je definované po zložkách).

Norma kvaterniónu h sa definuje ako ${\displaystyle |h|\equiv {\sqrt {h{\bar {h}}}}}$. Násobenie zachováva normu, t. j. pre kvaternióny h,q platí ${\displaystyle |hq|=|h||q|}$. Z toho vyplýva, že množina kvaterniónov normy 1 tvorí grupu. Táto množina je topologická sféra ${\displaystyle S^{3}}$ a ako Liova grupa je izomorfná ${\displaystyle SU(2)}$ (Jediné sféry, ktoré sú aj Liove grupy, sú ${\displaystyle S^0}$Zdroj:
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.