A | B | C | D | E | F | G | H | CH | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
Kvaternióny tvoria 4-rozmernú normovanú algebru s delením nad poľom reálnych čísel. Sú nekomutatívnym rozšírením poľa komplexných čísel.
Prvýkrát kvaternióny opísal William Rowan Hamilton v roku 1843. Najprv boli považované za nevhodné a umelo vykonštruované objekty, pretože porušovali komutatívny zákon ab = ba, postupne ale našli uplatnenie tak v teoretickej fyzike, ako aj v aplikovanej matematike (hoci sa často ich použitiu možno za určitú cenu vyhnúť pomocou vektorov). V skutočnosti je medzi kvaterniónmi a 4-rozmernými vektormi principiálny rozdiel: Operácia delenia je medzi dvoma kvaterniónmi definovaná, zatiaľ čo medzi dvoma vektormi táto operácia vôbec neexistuje.
Definícia
Zatiaľ čo komplexné čísla sú vytvorené z reálnych pridaním prvku i spĺňajúceho i2 = −1, kvaternióny sú vytvorené pridaním prvkov i, j a k tak, že sú splnené nasledujúce vzťahy.
Každý kvaternión je lineárnou kombináciou prvkov 1, i, j a k, čo znamená, že ich možno zapísať ako a + bi + cj + dk kde a, b, c a d sú reálne čísla.
Príklad
Nech
Potom (pri násobení sa využívajú vzťahy uvedené vyššie)
Základné vlastnosti
Množina kvaterniónov sa v matematike typicky označuje písmenom (podľa objaviteľa Hamiltona).
Kvaternióny sú asociatívna podielová algebra nad telesom reálnych čísel. Je na nich definované (pravé a ľavé) delenie a ako množina spolu so sčítanim, násobením a delením tvorí teleso. Je nekomutatívne, jeho centrum je .
Pre kvaternión definujme jeho konjugáciu ako . Platí, že súčin je nezáporné reálne číslo a je rovné nule iba pre nulový kvaternión .
Inverzný prvok ku kvaterniónu je kvaternión (delenie reálnym číslom je definované po zložkách).
Norma kvaterniónu h sa definuje ako . Násobenie zachováva normu, t. j. pre kvaternióny h,q platí . Z toho vyplýva, že množina kvaterniónov normy 1 tvorí grupu. Táto množina je topologická sféra a ako Lieova grupa je izomorfná (Jediné sféry, ktoré sú aj Lieove grupy, sú a ).
Grupa automorfizmov kvaterniónov je izomorfná s - grupou ortogonálnych matíc typu (3,3) s jednotkovým determinantom. Prvku pridadíme automorfizmus , kde a pre
Báza (vektorový priestor)
Bilineárna forma
Cauchyho-Schwarzova nerovnosť
Cayleyho-Hamiltonova veta
Determinant (matematika)
Einsteinova sumačná konvencia
Hilbertov priestor
Kvadratická forma
Kvaternión
Text je dostupný za podmienok Creative
Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších
podmienok.
Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky
použitia.
www.astronomia.sk | www.biologia.sk | www.botanika.sk | www.dejiny.sk | www.economy.sk | www.elektrotechnika.sk | www.estetika.sk | www.farmakologia.sk | www.filozofia.sk | Fyzika | www.futurologia.sk | www.genetika.sk | www.chemia.sk | www.lingvistika.sk | www.politologia.sk | www.psychologia.sk | www.sexuologia.sk | www.sociologia.sk | www.veda.sk I www.zoologia.sk