A | B | C | D | E | F | G | H | CH | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
Matematická indukcia je metóda dokazovania matematických viet a tvrdení, ktorá sa používa, ak chceme ukázať, že dané tvrdenie platí pre všetky prirodzené čísla, prípadne inú, dopredu danú nekonečnú postupnosť.
Typický dôkaz indukciou sa skladá z dvoch krokov:
- Báza: Ukážeme, že tvrdenie platí pre najmenšie číslo z postupnosti.
- Indukčný krok: Ukážeme, že ak tvrdenie platí pre n = m, tak platí aj pre n = m + 1 (Časť nasledujúca bezprostredne po ak sa niekedy nazýva indukčný predpoklad).
Tento postup sa niekedy prirovnáva k dominu. Obidve tieto časti sú totiž podobné dominovému efektu:
- Spadne prvá kocka domina
- Ak spadne nejaká kocka domina, spadne aj jej najbližší sused.
Výsledkom potom je, že spadnú všetky kocky.
Príklad
Majme nasledujúce tvrdenie:
pre všetky prirodzené čísla n. Dôkaz pravdivosti tohto tvrdenia je uvedený v nasledujúcej podkapitole.
Dôkaz
Báza:
Najskôr skontrolujeme, či toto tvrdenie platí pre n = 0. Zrejme áno, pretože súčet prvých 0 prirodzených čísel je 0 a 0(0 + 1)/2=0.
Indukčný krok:
Teraz chceme ukázať, že pokiaľ toto tvrdenie platí pre n = m, platí aj pre n = m + 1.
Predpokladajme teda, že pre n = m tvrdenie platí, čiže
Pridaním m + 1 k obidvom stranám rovnice dostaneme
čo sa rovná
a máme teda
Toto je tvrdenie pre n = m + 1. Dokázali sme, že je pravdivé, pokiaľ je pravdivé tvrdenie pre n = m.
Tvrdenie teda platí pre všetky prirodzené čísla, pretože
- Platí pre 0.
- Ak platí pre 0, platí aj pre 1
- Ak platí pre 1, platí aj pre 2
- Ak platí pre 2, platí aj pre 3
- ...
Všetky kone majú rovnakú farbu
Všetky kone majú rovnakú farbu je paradox, ktorý vznikne z nesprávneho použitia matematickej indukcie. Bol predstavený maďarským matematikom George Pólya[1]. Ukazuje na chyby, čo môžu nastať pri dôkazoch matematickou indukciou.
Argument
Chceme dokázať, že všetky kone majú rovnakú farbu.
Báza:
Pre to zjavne platí. Ak máme v skupine jedného koňa, tak má celá skupina rovnakú farbu a to farbu toho jedného koňa.
Indukčný krok:
Predpokladáme, že výrok platí pre koní a chceme ho dokázať pre koní. Kone si očíslujeme , kde farba i-teho koňa je . Pozrieme sa na farbu prvých koní . Podľa indukčného predpokladu môžeme usúdiť, že sú všetky rovnakej farby. Teraz sa pozrieme na farbu koní . Tých koní je , takže znova použijeme indukčný predpoklad a môžeme povedať, že aj tie sú všetky rovnakej farby. Keďže vieme, že a zároveň aj , môžeme povedať, že . Teraz sme dokázali, že ak výrok platí pre tak platí pre .
Výrok platí pre .
Výrok platí pre všetky kladné celé čísla.
Každá podmnožina koní má navzájom rovnakú farbu.
Koní je konečný počet.
Všetky kone majú rovnakú farbu.
Vysvetlenie
V indukčnom kroku (od do ) sa predpokladá, že . Indukcia by platila iba keby bola báza dokázaná pre .
Referencie
- ↑ PÓLYA, George. Induction and Analogy in Mathematics. : , 1954.
Externé odkazy
- Dôkaz matematickou indukciou na pohodovamatematika.sk
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.
Antropológia
Aplikované vedy
Bibliometria
Dejiny vedy
Encyklopédie
Filozofia vedy
Forenzné vedy
Humanitné vedy
Knižničná veda
Kryogenika
Kryptológia
Kulturológia
Literárna veda
Medzidisciplinárne oblasti
Metódy kvantitatívnej analýzy
Metavedy
Metodika
Text je dostupný za podmienok Creative
Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších
podmienok.
Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky
použitia.
www.astronomia.sk | www.biologia.sk | www.botanika.sk | www.dejiny.sk | www.economy.sk | www.elektrotechnika.sk | www.estetika.sk | www.farmakologia.sk | www.filozofia.sk | Fyzika | www.futurologia.sk | www.genetika.sk | www.chemia.sk | www.lingvistika.sk | www.politologia.sk | www.psychologia.sk | www.sexuologia.sk | www.sociologia.sk | www.veda.sk I www.zoologia.sk