Banachova veta o pevnom bode, pomenovaná podľa Stefana Banacha a známa aj ako veta o kontrakcii, je veta matematickej analýzy, ktorá hovorí, že pre každé kontraktívne zobrazenie v úplnom metrickom priestore existuje práve jeden pevný bod.

Definície

Pevný bod

Bližšie informácie v hlavnom článku: Pevný bod

Nech ${\displaystyle f:X\to X}$ je zobrazenie. Bod ${\displaystyle x\in X}$ nazveme pevným bodom zobrazenia f, ak ${\displaystyle f(x)=x\,}$.

Kontraktívne zobrazenie

Bližšie informácie v hlavnom článku: Kontrakcia (matematika)

Nech ${\displaystyle (X,d)\,}$ je metrický priestor, nech ${\displaystyle A\subseteq X\,}$. Nech ${\displaystyle f:A\to A}$ je zobrazenie. Zobrazenie f nazývame kontraktívne zobrazenie alebo kontrakcia, ak existuje reálna konštanta L, ${\displaystyle 0<L<1}$ taká, že pre všetky ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in A}$ platí

${\displaystyle d(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq L\cdot d(x_{1},x_{2}).}$

Inými slovami, zobrazenie f je kontraktívne vtedy a len vtedy, keď spĺňa Lipschitzovu podmienku pre ${\displaystyle 0<L<1}$.

Znenie vety

Nech ${\displaystyle (X,d)\,}$ je úplný metrický priestor. Nech ${\displaystyle f:X\to X}$ je kontraktívne zobrazenie. Potom f má práve jeden pevný bod ${\displaystyle u=f(u)}$. Navyše, pre každé ${\displaystyle x\in X}$ platí ${\displaystyle f^{n}(x)\to u}$ pre ${\displaystyle n\to \infty }$ (symbol ${\displaystyle f^{n}\,}$ označuje n-tú iteráciu zobrazenia f), pričom pre rýchlosť konvergencie platí ${\displaystyle d(u,f^{n}(x))\leq L^{n}\cdot d(u,x)}$.

Dôkaz

Existencia pevného bodu

Z kontraktívnosti zobrazenia f možno matematickou indukciou dokázať, že platí

${\displaystyle d(f^{n}(x),f^{n+1}(x))\leq L^{n}\cdot d(x,f(x)).}$

Z toho vyplýva, že pre všetky prirodzené čísla n,k platí

${\displaystyle d(f^{n}(x),f^{n+k}(x))\leq \sum _{i=n}^{n+k-1}d(f^{n+i}(x),f^{n+i+1}(x))\leq \sum _{i=n}^{n+k-1}L^{i}\cdot d(x,f(x))\leq \sum _{i=n}^{\infty }L^{i}\cdot d(x,f(x))={\frac {L^{n}}{1-L}}\cdot d(x,f(x)).}$

Keďže

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {L^{n}}{1-L}}\cdot d(x,f(x))=0,}$

je postupnosť ${\displaystyle \{f^{n}(x)\}_{n=0}^{\infty }}$ fundamentálna. Z úplnosti metrického priestoru ${\displaystyle (X,d)\,}$ potom plynie, že existuje limita tejto postupnosti. Označme túto limitu u. Potom platí

${\displaystyle f(u)=f(\lim _{n\to \infty }f^{n}(x))=\lim _{n\to \infty }f^{n+1}(x)=\lim _{n\to \infty }f^{n}(x)=u,}$

čiže u je pevný bod zobrazenia f.

Jednoznačnosť pevného bodu

Sporom. Nech ${\displaystyle u\neq v}$ sú dva rôzne pevné body zobrazenia f. Z kontraktívnosti zobrazenia f:

${\displaystyle 0<d(u,v)=d(f(u),f(v))\leq L\cdot d(u,v)<d(u,v),}$

z čoho ${\displaystyle d(u,v)<d(u,v)}$, čo je spor.

Rýchlosť konvergencie

Tvrdenie

${\displaystyle d(u,f^n(x))\le <!--\; \le \; -->L^n\cdot <!--\; \cdot \; -->d}$Zdroj:
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.

---