V matematice je varieta topologický prostor, který je lokálně podobný obecně n-rozměrnému Euklidovskému prostoru, a jsou na něm obvykle definovány tečné vektory. Obvykle se pod slovem varieta rozumí hladká varieta, na rozdíl od algebraické variety.

Příkladem jednorozměrné variety je například kružnice – lokálně je podobná jednorozměrnému Euklidovskému prostoru – přímce, ale její topologie je jiná. Kružnici jako varietu označujeme jako ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {S} _{}^{1}}$. Obdobně např. povrch koule ${\displaystyle \scriptstyle (\mathbb {S} ^{2})}$ nebo povrch toru ${\displaystyle \scriptstyle (\mathbb {T} ^{2})}$ jsou příklady dvojrozměrných variet.

Na varietách často zavádíme dodatečné struktury, které prostá varieta nutně neobsahuje. Příkladem jsou např. míry, díky nimž můžeme používat integrální počet, Riemannovské variety, na nichž jsou definovány vzdálenosti, úhly, křivost, apod., nebo pseudo-Riemannovské variety, které modelují časoprostor v teorii relativity.

Formální definice

Jeden z možných způsobů zavedení variet je skrz tzv. mapy a atlasy. Atlasem nazveme množinu funkcí (map) ${\displaystyle \scriptstyle f_{i}:V_{i}\to \mathbb {R} ^{n}}$, takových, že:

1. ${\displaystyle V_{i}}$ jsou otevřené množiny z Hausdorffova separabilního prostoru M, které pokrývají celé ${\displaystyle M}$.
2. ${\displaystyle \scriptstyle \,f_{i}}$ jsou homeomorfizmy ${\displaystyle V_{i}}$ na otevřenou množinu v ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}}$.
3. ${\displaystyle \scriptstyle f_{i}\circ f_{j}^{-1}}$ (tzv. přechodové funkce) mají na ${\displaystyle \scriptstyle f_{j}(V_{i}\cap V_{j})}$ spojité parciální derivace do řádu ${\displaystyle k}$.

${\displaystyle C^{k}}$-varieta je pak definována jako topologický prostor M spolu s daným atlasem. Tato struktura umožňuje derivovat funkce ve směru křivek (mapy problém přenesou do ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$) a definovat tečný prostor v každém bodě variety. Pokud ${\displaystyle k=\infty }$, mluvíme o hladké varietě. Dá se dokázat, že každá ${\displaystyle C^{k}}$varieta pro ${\displaystyle k\geq 1}$ už je hladká. Hladká varieta se někdy také nazývá diferencovatelná varieta. Pokud místo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$máme mapy do ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$a přechodové funkce jsou holomorfní, mluvíme o komplexní varietě. Pokud přechodové funkce jsou analytické funkce, mluvíme o analytické varietě. Pokud přechodové funkce jsou pouze spojité, mluvíme o topologické varietě (na ní tečné vektory nejsou definovány).

Příklad

Uvažujme sféru ${\displaystyle \scriptstyle S^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n+1},\,|x|=1\}}$. Sféru rozdělme na dvě podmnožiny, ${\displaystyle \scriptstyle U:=S^{n}-\{(0,\ldots ,0,1)\}}$ a ${\displaystyle \scriptstyle V:=S^{n}-\{(0,\ldots ,0,-1)\}}$ (jedná se o sféru bez jižního resp. severního pólu). Definujme atlas pozůstávající z dvou map (tzv. stereografická projekce):

${\displaystyle f_{1}:U\to \mathbb {R} ^{n},\quad x\mapsto (x_{1}/(1-x_{n+1}),\ldots ,x_{n}/(1-x_{n+1}))}$

${\displaystyle f_{2}:V\to \mathbb {R} ^{n},\quad x\mapsto (x_{1}/(1+x_{n+1}),\ldots ,x_{n}/(1+x_{n+1}))}$

Přechodová funkce je pak kulová inverze ${\displaystyle \scriptstyle f_{1}f_{2}^{-1}:\mathbb {R} ^{n}-\{0\}\to \mathbb {R} ^{n}-\{0\},\quad x\mapsto x/|x|^{2}}$. Jedná se o hladkou funkci, proto sféra s tímto atlasem tvoří hladkou varietu.

Ve speciálním případě dvourozměrné sféry (povrch třírozměrné koule) můžeme navíc ztotožnit ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{2}\simeq \mathbb {C} }$. Pokud změníme u mapy ${\displaystyle f_{1}}$ znaménko, bude přechodová funkce ${\displaystyle \scriptstyle x\mapsto -x/|x|^{2}}$ po ztotožnění s komplexními čísly jenom komplexní funkce ${\displaystyle \scriptstyle f(z)=1/z}$, což je holomorfní funkce z ${\displaystyle \mathbb{C}}$Zdroj:https://cs.wikipedia.org?pojem=Hladká_varieta
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.