Bertrandův postulát je věta v teorii čísel, která říká, že pro každé celé číslo ${\displaystyle n>3}$ existuje alespoň jedno prvočíslo ${\displaystyle p}$, pro které platí:

${\displaystyle n<p<2n-2.}$

Slabší formulace říká, že pro každé ${\displaystyle n>1}$ existuje alespoň jedno prvočíslo ${\displaystyle p}$ takové, že

${\displaystyle n<p<2n.}$

Další možná formulace říká, že pro ${\displaystyle n\geq 1}$ platí

${\displaystyle p_{n+1}<2p_{n},}$ ^[1]

kde ${\displaystyle p_{n}}$ je ${\displaystyle n}$-té prvočíslo.

Toto tvrzení jako první vyslovil v roce 1845 Joseph Bertrand ^[2] (1822-1900). Bertrand sám ověřil platnost tohoto tvrzení pro všechna čísla v intervalu . Jeho tvrzení zcela dokázal Čebyšev (1821–1894) v roce 1852,^[3] a proto se postulát také někdy nazývá Bertrandův-Čebyševův teorém nebo Čebyševův teorém. Čebyševův teorém může být také vyjádřen pomocí ${\displaystyle \pi (x)}$, kde ${\displaystyle \pi (x)}$ je prvočíselná funkce (počet prvočísel menších nebo rovných ${\displaystyle x\,}$), jako:

${\displaystyle \pi (x)-\pi ({\tfrac {x}{2}})\geq 1,\forall x\geq 2}$ .

Prvočíselná věta

Prvočíselná věta (PNT) říká, že pokud počet prvočísel menších nebo rovných ${\displaystyle x}$ je přibližně ${\displaystyle {\frac {x}{lnx}}}$, potom dosadíme-li za ${\displaystyle x}$ hodnotu ${\displaystyle 2x}$, pak počet prvočísel menších nebo rovných ${\displaystyle 2x}$ je asymptoticky stejný s dvojnásobkem počtu prvočísel menších nebo rovných ${\displaystyle x}$ (výrazy ${\displaystyle ln(2x)}$ a ${\displaystyle ln(x)}$ jsou asymptoticky ekvivalentní). Proto pro velká ${\displaystyle n}$ je počet prvočísel mezi ${\displaystyle n}$ a ${\displaystyle 2n}$ roven přibližně ${\displaystyle {\frac {n}{ln(n)}}}$, a tedy se v tomto intervalu nachází mnohem více prvočísel, než zaručuje Bertrandův Postulát. Bertrandův postulát je tedy v porovnání s PNT slabší. Ale PNT je hluboká věta, zatímco Bertrandův postulát se lépe pamatuje a snadněji se dokazuje, a také přesně popisuje chování pro malé hodnoty ${\displaystyle n}$. (Navíc Chebyshevův teorém byl dokázán před PNT, takže má historický důvod.)

Podobná a dosud nevyřešená Legendreova domněnka se ptá, jestli pro každé ${\displaystyle n>1}$ existuje prvočíslo ${\displaystyle p}$ takové, že platí ${\displaystyle n^{2}<p<(n+1)^{2}}$. Opět předpokládáme, že mezi ${\displaystyle n^{2}}$ a ${\displaystyle (n+1)^{2}}$ se bude nacházet mnoho prvočísel, nicméně v tomto případě PNT nepomůže: počet prvočísel menších nebo rovných ${\displaystyle x^{2}}$ je asymptoticky stejný s ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{ln(x^{2})}}}$, zatímco počet prvočísel menších nebo rovných ${\displaystyle (x+1)^{2}}$ je asymptoticky stejný s ${\displaystyle {\frac {(x+1)^{2}}{ln((x+1)^{2})}}}$, což je asymptoticky shodné s odhadem na prvočíslech menších nebo rovných ${\displaystyle x^{2}}$. Takže na rozdíl od předchozího případu pro ${\displaystyle x}$ a ${\displaystyle 2x}$ důkaz Legendreovy domněnky nedostaneme ani pro všechna velká ${\displaystyle n}$. Odhady odchylek na PNT nejsou (a ani nemohou být) dostatečné k prokázání existence alespoň jednoho prvočísla na tomto intervalu.

Zobecnění

V roce 1919 použil Ramanujan (1887–1920) k získání jednoduššího důkazu vlastnosti funkce gama. Krátký příspěvek obsahoval zobecnění postulátu, ze kterého později vzniknul koncept ramanujanských prvočísel. Došlo také k dalším zobecněním ramanujanských prvočísel, například existuje důkaz, že

${\displaystyle 2p_{i-n}>p_{i}{\text{ pro }}i>k{\text{ kde }}k=\pi (p_{k})=\pi (R_{n})\,,}$

pokud ${\displaystyle p_{k}}$ je ${\displaystyle k}$-té prvočíslo a ${\displaystyle R_{n}}$ je ${\displaystyle n}$-té Ramanujanovo prvočíslo.

Ostatní zobecnění Bertrandova postulátu byla získána pomocí elementárních metod. (V následujícím textu ${\displaystyle n}$ náleží do množiny kladných celých čísel.) V roce 2006 M. El Bachraoui dokázal, že mezi ${\displaystyle 2n}$ a ${\displaystyle 3n}$ existuje prvočíslo.^[4] V roce 1973, Denis Hanson dokázal, že existuje prvočíslo mezi ${\displaystyle 3n}$ a ${\displaystyle 4n}$. Kromě toho v roce 2011 Andy Loo dokázal, že protože ${\displaystyle n}$ jde do nekonečna, počet prvočísel mezi ${\displaystyle 3n}$ a ${\displaystyle 4n}$ se také blíží nekonečnu, čímž se zobecňují Erdősovy a Ramanujanovy výsledky (viz oddíl Erdősův teorém níže). První výsledek se získá elementárními metodami. Druhý je založen na analytických mezích pro funkci faktoriál.

Sylvesterova věta

Bertrandův postulát byl navržen pro aplikace do permutačních grup. Sylvester (1814–1897) zobecnil slabší výrok pomocí výroku: součin ${\textstyle k}$ po sobě jdoucích celých čísel větších než ${\textstyle k}$ je dělitelný prvočíslem větším než ${\textstyle k}$. Z toho vyplývá Bertrandův (slabší) postulát, vezmeme-li ${\textstyle k=n}$ a dosadíme za ${\textstyle k}$ čísla ${\textstyle (n+1)}$, $($Zdroj:https://cs.wikipedia.org?pojem=Bertrandův_postulát
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.