Riemannov integrál, pomenovaný podľa nemeckého matematika Bernharda Riemanna, je v matematickej analýze historicky prvá rigorózna definícia pojmu integrál funkcie na intervale. Aj keď je Riemannov integrál pre niektoré teoretické úlohy menej vhodný, je to jedna z najjednoduchších definícii integrálu. Niektoré z týchto technických ťažkostí sa dajú vyriešiť Riemannovým-Stieltjesovým integrálom a väčšina z nich Lebesgueovým integrálom.

Úvod

Obrázok 2

Nech ${\displaystyle f(x)}$ je nezáporná reálna funkcia na intervale ${\displaystyle }$ a nech ${\displaystyle S=\{(x,y)|0<y<f(x)\}}$ je plocha pod touto funkciou na intervale ${\displaystyle }$ (pozri Obrázok 2). Zaujíma nás obsah plochy ${\displaystyle S}$. Hneď ako ju vypočítame, označíme ju symbolom:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx}$

Základnou myšlienkou Riemannovho integrálu je použiť veľmi jednoduché aproximácie tejto plochy. Získaním stále lepších a lepších aproximácií môžeme povedať, že "v limite" dostaneme presne plochu ${\displaystyle S}$ pod krivkou.

Je potrebné poznamenať, že na intervaloch, kde funkcia ${\displaystyle f}$ môže nadobúdať tak kladné, ako aj záporné hodnoty, integrál bude korešpondovať so znamienkovým obsahom, čiže obsahom plochy nad osou ${\displaystyle x}$ mínus obsahom plochy pod ňou.

Postupnosť Riemannových súčtov. Čísla vpravo hore sú obsahy šedých obdĺžnikov. Konvergujú k integrálu funkcie.

Definícia Riemannovho integrálu

Delenia intervalu

Delenie intervalu ${\displaystyle }$ je každá konečná postupnosť ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}=b}$. Každý z intervalov ${\displaystyle }$ sa nazýva podinterval delenia. Norma delenia je definovaná ako dĺžka najdlhšieho podintervalu ${\displaystyle }$, teda je to ${\displaystyle \max(x_{i+1}-x_{i})}$, kde ${\displaystyle 0\leq i\leq n-1}$.

Značené delenie intervalu je delenie intervalu spolu s konečnou postupnosťou čísel ${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}$, pre ktorú platí, že pre každé ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle x_{i}\leq t_{i}\leq x_{i+1}}$. Inými slovami to je delenie, ktorého každý podinterval obsahuje jeden bod. Norma značeného delenia sa definuje rovnako ako norma obyčajného delenia.

Predpokladajme ďalej, že ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ spolu s ${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}$ je značené delenie intervalu ${\displaystyle a,b}$ a že ${\displaystyle y_{0},\ldots ,y_{m}}$ spolu s ${\displaystyle s_{0},\ldots ,s_{m-1}}$ je iné značené delenie toho istého intervalu. Hovoríme, že ${\displaystyle y_{0},\ldots ,y_{m}}$ spolu s ${\displaystyle s_{0},\ldots ,s_{m-1}}$ je zjemnením delenia ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ spolu s ${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}$, ak pre každé celé číslo ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle 0\leq i\leq n}$, existuje celé číslo ${\displaystyle r(i)}$ také, že ${\displaystyle x_{i}=y_{r(i)}}$ a také, že ${\displaystyle t_{i}=s_{j}}$ pre niektoré ${\displaystyle j}$ with ${\displaystyle r(i)\leq j\leq r(i+1)}$. Zjednodušene povedané, zjemnenie značeného delenia je značené delenia, ktoré ma viacero značiek, ale má aj všetky pôvodné.

Na množine všetkých značených delení môžeme definované čiastočné usporiadanie nasledovne: jedno značené delenie je väčšie ako iné značené delenie, keď to väčšie je zjemnením menšieho.

Riemannove súčtyupraviť | upraviť zdroj

Zvoľme si reálnu funkciu ${\displaystyle f}$ definovanú na intervale ${\displaystyle a,b}$. Riemannovým súčtom funkcie ${\displaystyle f}$ vzhľadom na značené delenie ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ spolu s ${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}$ je suma:

${\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}f(t_i)(x_{i+1}-<!--\; -\; -->x_i)}$Zdroj:
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.

---