A | B | C | D | E | F | G | H | CH | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
Usporiadané pole je v matematike pole, na ktorom je definované totálne usporiadanie s istými vlastnosťami. Tento koncept zaviedol Emil Artin v roku 1927.
Definícia
Pole (F, +, *) s totálnym usporiadaním ≤ na F je nazývame usporiadaným poľom, ak toto usporiadanie spĺňa nasledovné vlastnosti (0 označuje neutrálny prvok aditívnej operácie poľa):
- Ak a ≤ b, potom a + c ≤ b + c
- Ak 0 ≤ a a 0 ≤ b, potom 0 ≤ a b
Prvky a poľa, pre ktoré platí 0 ≤ a, nazývame nezápornými.
Z tejto definície vyplýva, že pre každé a, b, c, d v F platí:
- Buď −a ≤ 0 ≤ a alebo a ≤ 0 ≤ −a,
- Ak a ≤ b a c ≤ d, potom a + c ≤ b + d (môžeme "sčítavať nerovnosti"),
- Ak a ≤ b a 0 ≤ c, potom ac ≤ bc (môžeme "násobiť nerovnosti kladnými prvkami").
Vlastnosti usporiadaných polí
- 1 je nezáporná. (Dôkaz: buď 1 je nezáporná alebo −1 je nezáporná. Ak −1 je nezáporná, tak (−1)(−1) je nezáporná, čo je spor.)
- Usporiadané pole má charakteristiku 0. Konečné polia tak nemôžu byť usporiadané.
- Druhé mocniny sú nezáporné. 0 ≤ a2 pre všetky a v F.
Každé podpole usporiadaného poľa je takisto usporiadané pole (s indukovaným usporiadaním). Najmenšie podpole je izomorfné s poľom racionálnych čísel. Ak každý prvok usporiadané poľa leží medzi dvomi inými jeho prvkami, hovoríme, že pole je archimedovské; napríklad pole reálnych čísel je archimedovské, ale každé hyperreálne pole je nearchimedovské.
Príklady usporiadaných polí
Príkladmi usporiadaných polí sú polia:
- racionálnych čísel,
- reálnych algebrických čísel,
- vypočítateľných čísel,
- reálnych čísel,
- superreálnych čísel,
- hyperreálnych čísel,
- pole reálnych racionálnych funkcií , kde p(x) a q(x), sú polynómy s reálnymi koeficientami sa dá usporiadať do poľa, kde p(x) = x je väčší ako každý konštantný polynóm definiovaním: keď , pre . Takto usporiadané pole nie je archimedovské.
- Pole formálnych mocninových radov s reálnymi koeficientami
- reálne uzavreté polia.
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.
Antropológia
Aplikované vedy
Bibliometria
Dejiny vedy
Encyklopédie
Filozofia vedy
Forenzné vedy
Humanitné vedy
Knižničná veda
Kryogenika
Kryptológia
Kulturológia
Literárna veda
Medzidisciplinárne oblasti
Metódy kvantitatívnej analýzy
Metavedy
Metodika
Text je dostupný za podmienok Creative
Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších
podmienok.
Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky
použitia.
www.astronomia.sk | www.biologia.sk | www.botanika.sk | www.dejiny.sk | www.economy.sk | www.elektrotechnika.sk | www.estetika.sk | www.farmakologia.sk | www.filozofia.sk | Fyzika | www.futurologia.sk | www.genetika.sk | www.chemia.sk | www.lingvistika.sk | www.politologia.sk | www.psychologia.sk | www.sexuologia.sk | www.sociologia.sk | www.veda.sk I www.zoologia.sk