Obelisk s podstavou päťuholníka

Obelisk je mnohosten,^[1] vykonštruovaný dvoma paralelnými mnohouholníkmi, ktorých bočné steny sú lichobežníky.^[1] Jedná sa o zrezaný ihlan s mnohouholníkovou podstavou.

Ide o 3-rozmerný priestorový útvar v euklidovskej geometrii. Najbežnejšie sú obelisky s podstavou štvorca, obdĺžnika, trojuholníka, päťuholníka či šesťuholníka, no známe sú aj obelisky s podstavou osemuholníka či desaťuholníka. Takmer všetky obelisky sú mnohosteny, s výnimkou tzv. zrezaného kužeľa,^[2] ktorého podstava je kruh,^[2] no možná je aj podstava elipsy^[3] podobne ako u eliptického valca.^[4] Žiaden obelisk s mnohouholníkovou podstavou nemožno vytvoriť rotáciou. Naopak, obelisk s kruhovou podstavou je možné vytvoriť okrem zrezania čiapky kužeľa, aj rotáciou pravouhlého lichobežníka.

Vlastnosti

Každý obelisk s podstavou mnohouholníka sa radí medzi prismatoidy. Vďaka tomu, že jeho plášť tvoria lichobežníky, spadá daný prismatoid pod skupinu obeliskov. Všeobecne platí, že mnohouholník či kruh hornej podstavy musí byť ${\displaystyle n}$-krát menší, než mnohouholník či kruh dolnej podstavy. V prípade, že sú obe podstavy rovnako veľké, ich plášť nemôže byť tvorený lichobežníkmi, ale obdĺžnikmi čo stvorcami, čo je hranol, nie obelisk. To isté platí aj v prípade kruhovej podstavy. Ak sú kruhy oboch podstáv rovnako veľké, jedná sa o valec, nie obelisk (v tomto prípade zrezaný kužeľ). Aj v prípade že dve eliptické podstavy sú rovnako veľké, vzniká eliptický valec. Obelisky sú útvary konvexné. Ďalej existujú nepravidelné obelisky, ktoré majú za podstavy nepravidelné mnohouholníky a majú teda neurčité tvary plášťa.

Druhy pravidelných obeliskov

Základný (štvorcový) obelisk

Je tvorený dvoma paralelnými štvorcami tvoriacich dolnú a hornú podstavu. Plášť tohto obelisku tvoria 4 rovnoramenné lichobežníky, ktorých dĺžka strany ${\displaystyle a}$ (dolná, najdlhšia strana) je zhodná s dĺžkou strany ${\displaystyle a}$ v dolnej podstave štvorca.^[5] Toto isté tvrdenie platí aj na hornú stranu lichobežníka ${\displaystyle c}$ ktorá je zhodná s dĺžkou strany ${\displaystyle a}$ v hornej podstave štvorca. Preto:

${\displaystyle a_{1}=A}$ a ${\displaystyle c=a}$

Obvod dolnej podstavy vypočítame ako:

${\displaystyle O=4A}$

Obvod hornej podstavy vypočítame ako:

${\displaystyle O_{1}=4a}$

Objem vypočítame ako:^[5]

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}(A^{2}+Aa+a^{2})h}$

Obsah plášťa vypočítame ako:

${\displaystyle A_{L}=4{\frac {(a_{1}+c)\cdot v}{2}}}$

Pretože obsah lichobežníka vypočítame ako ${\displaystyle S={\frac {(a_{1}+c)\cdot v}{2}}}$, a plášť základného obelisku tvoria 4 rovnaké rovnoramenné lichobežníky, stačí iba obsah lichobežníka vynásobiť štyrmi. Povrch vypočítame ako:

${\displaystyle A_{T}=A_{L}+(S_{1}+S_{2})}$

kde:

${\displaystyle a}$ je strana hornej štvorcovej podstavy

${\displaystyle a_{1}}$ je dolná, najdlhšia strana rovnoramenného lichobežníka

${\displaystyle c}$ je horná, najkratšia strana rovnoramenného lichobežníka

${\displaystyle A}$ je strana dolnej štvorcovej podstavy

${\displaystyle h}$ je výška

${\displaystyle S}$ je obsah lichobežníka

${\displaystyle S_{1}}$je obsah dolnej podstavy

${\displaystyle S_{2}}$ je obsah hornej podstavy

Obdlžníkový obelisk

Je tvorený dvoma paralelnými obdlžníkmi tvoriacich dolnú a hornú podstavu. Plášť tohto obelisku tvoria 4 rovnoramenné lichobežníky, niesu však všetky rovnaké. Sú to 2 paralelné predné lichobežníky ktorých horná, najkratšia strana ${\displaystyle c}$ je rovnako dlhá ako najdlhšia strana hornej podstavy ${\displaystyle a}$.^[1] Ďalej sú tu 2 bočné lichobežníky ktorých horná, najkratšia strana ${\displaystyle c_{1}}$je rovnako dlhá ako bočná, najkratšia strana hornej obdlžníkovej podstavy, ${\displaystyle b}$. Ďalej najdlhšia, dolná strana predných lichobežníkov ${\displaystyle a_{1}}$ je rovnako dlhá ako najdlhšia strana dolnej podstavy ${\displaystyle A}$. To isté platí aj pre bočné lichobežníky, ktorých najdlhšie, dolné strany ${\displaystyle a_{2}}$ sú rovnako dlhé ako bočné strany dolnej podstavy, ${\displaystyle B}$. Preto:

${\displaystyle c=a}$, ${\displaystyle c_{1}=b}$, ${\displaystyle a_{1}=A}$ a ${\displaystyle a_{2}=B}$

Obvod dolnej podstavy vypočítame ako:

${\displaystyle O=2(A+B)}$

Obvod hornej podstavy vypočítame ako:

${\displaystyle O_{1}=2(a+b)}$

Objem vypočítame ako:^[1]

${\displaystyle V_{1}={\frac {h}{6}}(Ab+aB+2(ab+AB))}$

Alebo ako:

${\displaystyle V_{2}={\frac {1}{6}}h}$

Obsah plášťa vypočítame ako:

${\displaystyle A_{L}=2{\frac {(a_{1}+c)}{2}}+2{\frac {(a_{2}+c_{1})}{2}}}$

Povrch vypočítame ako:

${\displaystyle A_{T}=A_{L}+AB+ab}$

kde:

${\displaystyle a}$ je najdhlšia strana hornej podstavy (predná strana)

${\displaystyle b}$ je najkratšia strana hornej podstavy (bočná strana)

${\displaystyle A}$ je najdhlšia strana dolnej podstavy (predná strana)

${\displaystyle B}$Zdroj:
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.

---