Všeobecný mnohosten

Mnohosten alebo polyéder je teleso ohraničené rovinnými mnohouholníkmi. Mnohosten je trojrozmerné geometrické teleso, ktorého povrch sa skladá z konečného množstva stien tvorených pravidelnými alebo nepravidelnými mnohouholníkmi.

Pojem mnohosten sa niekedy používa aj pre označenie n-rozmerného útvaru (napr. n-rozmerný simplex).

Všeobecne

Mnohosten má povrch skladajúci sa z mnohouholníkových stien, ktoré sa pretínajú v úsečkami vytvorených hranách. Body, v ktorých sa stretávajú (najmenej 3) hrany, sa nazývajú vrcholy. Časť priestoru ohraničeného stenami sa nazýva vnútrajšok mnohostena a je obvykle považovaný za jeho súčasť.

Mnohosteny sa označujú podľa počtu stien (4 a viac). Napríklad štvorsten (tetraéder), päťsten (pentaéder), šesťsten (hexaéder), sedemsten (heptaéder), osemsten (oktaéder), dvanásťsten (dodekaéder), dvadsaťsten (ikosaéder) a pod. Pre klasické (označované tiež. ako dôležité, vybrané, tradičné a pod.) mnohosteny existuje tiež samostatné označenie, napr. ihlan, kocka a pod.

Eulerova veta

Vzťah medzi počtom vrcholov (v), hrán (h) a stien (s) konvexného mnohostenu udáva tzv. Eulerova veta

${\displaystyle v-h+s=2\,\!}$.

Klasické (vybrané) mnohosteny

Mnohosten:
a) konvexný, b) nekonvexný

Nepravidelný šesťboký ihlan

Nepravidelný štvorboký hranol

Za klasické sú považované také mnohosteny, ktoré vynikajú nad ostatnými "istým druhom dokonalosti" (pravidelností), alebo napr. historickým významom. Takéto mnohosteny majú obvykle vlastné mená.

• Ihlany sú mnohosteny tvorené jednou mnohouholníkovou stenou (podstavou), význačným vrcholom (vrchol ihlanu) ležiacim mimo podstavu a trojuholníkovými stenami tvorenými vždy hranou podstavy a dvoma úsečkami spájajúcimi koncové body tejto hrany s význačným vrcholom ležiacim mimo podstavu (vrcholom ihlanu)
• Hranoly – mnohosteny tvorené dvomi zhodnými, rovnako orientovanými a v rôznych vzájomne rovnobežných rovinách ležiacimi mnohouholníkovými stenami (podstavami), a obdĺžnikovými stenami tvorenými dvoma odpovedajúcimi si hranami na oboch podstavách a úsečkami, spájajúcimi ich koncové body.

Pravidelné mnohosteny

Ak z každého vrcholu mnohostenu vychádza rovnaký počet hrán a zároveň každá stena je ohraničená rovnakým počtom hrán, potom sa mnohosten označuje ako kombinatoricky pravidelný. Ak sú navyše všetky steny pravidelné mnohouholníky, potom hovoríme, že mnohosten je (metricky) pravidelný.

Pravidelný mnohosten je teda taký, ktorého všetky steny sú zhodné pravidelné mnohouholníky.

Existuje presne päť pravidelných konvexných mnohostenov. Všetky sú známe už z dôb antiky a súhrnne sa nazývajú Platónske telesá.

• pravidelný štvorsten – steny sú tvorené rovnostrannými trojuholníkmi
• pravidelný šesťsten (kocka) – steny sú tvorené štvorcami
• pravidelný osemsten – steny sú tvorené rovnostrannými trojuholníkmi
• pravidelný dvanásťsten – steny sú tvorené pravidelnými päťuholníkmi
• pravidelný dvadsaťsten – steny sú tvorené rovnostrannými trojuholníkmi

Existujú presne štyri pravidelné nekonvexné mnohosteny. Súhrnne sa nazývajú Kepler-Poinsotove telesá. Oproti klasickej definícii mnohostena neleží celá plocha každej steny týchto telies na ich povrchu, ale je „vnorená“ do vnútra. Pokiaľ by sa považovali za steny iba viditeľné časti, neboli by už tieto mnohosteny pravidelné.

• malý hviezdicovitý dvanásťsten
• veľký hviezdicovitý dvanásťsten
• veľký dvanásťsten
• veľký dvadsaťsten

Duálne mnohosteny

Dvanásťsten a jeho duál

Ku každému mnohostenu existuje mnohosten duálny. Ten vznikne umiestnením vrcholov do „stredov“ stien pôvodného mnohostena a ich spojením hranami tak, že vrcholy ležiace v susedných stenách pôvodného mnohostenu sú v jeho duále spojené hranou.

Vzťah k grafom

Každý mnohosten sa vzťahuje k práve jednému grafu, ktorého vrcholy a hrany zodpovedajú vrcholom a hranám mnohostena. Vďaka tomu je možné používať teóriu grafov pre skúmanie mnohostenov.

Pozri aj

• Mnohouholník