Pohybová rovnice je matematicky zapsaný fyzikální vztah, který popisuje možné pohyby tělesa v daném prostředí. Tělesem se rozumí například klasické tuhé těleso nebo testovací částice, případně i soustava těles respektive částic. Prostředím se míní zejména síly a silová pole působící na těleso a mechanické vazby, které jeho pohyb omezují.

Řešením pohybové rovnice je poloha tělesa v libovolném okamžiku. V klasické mechanice tedy řešení popisuje trajektorii tělesa. V kvantové mechanice, která je pravděpodobnostní teorií, jde o poněkud obecnější problém, výsledkem je časově proměnná vlnová funkce.

Řešení obvykle není jednoznačné, protože v daném prostředí se lze pohybovat více způsoby. Pohyb je určen jednoznačně teprve po stanovení tzv. počátečních podmínek, například počáteční polohy a rychlosti tělesa.

Tvar rovnice a počáteční podmínky

Pohybová rovnice v nejobecnějším tvaru je obvykle diferenciální rovnice druhého řádu, kde se derivuje podle času. V konkrétních případech se ale může výrazně zjednodušit. Jejím řešením je funkce popisující polohu v závislosti na čase ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (t)}$, což je vlastně parametrické vyjádření trajektorie.

Řád diferenciální rovnice určuje, jaké počáteční podmínky je třeba zadat, aby řešení bylo jednoznačné. Pro rovnici druhého řádu, je třeba zadat počáteční polohu a rychlost tělesa.

Klasická mechanika

Vychází se z Newtonových pohybových zákonů. Zákon setrvačnosti definuje inerciální soustavu za účelem eliminace vnějších vlivů. Zákon síly pak dává přímo pohybovou rovnici ve tvaru:

${\displaystyle \mathbf {F} =m{\frac {\mathrm {d^{2}} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}\,,}$

kde m je hmotnost tělesa násobená druhou časovou derivací vektoru polohy ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (t)}$, na levé straně je vektor působící síly. Za sílu se přitom dosadí funkce času, polohy nebo i rychlosti, podle konkrétní situace, tzn. ${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {F} (\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t)}$. (Například v gravitačním poli síla závisí na vzdálenosti od centrálního tělesa. Odporová síla vzduchu závisí na rychlosti pohybu.) Přitom víme, že rychlost je také časová derivace polohy ${\displaystyle \mathbf {v} =(\mathrm {d} \mathbf {r} /\mathrm {d} t)}$.

Pohybové rovnice při působení nulové síly

Pohybové rovnice můžeme v případě, že na těleso nepůsobí síla, tzn. ${\displaystyle \mathbf {F} =0}$, vyjádřit pomocí prvního pohybového zákona.

Pro ${\displaystyle \mathbf {F} =0}$ dostaneme pro zrychlení ${\displaystyle \mathbf {a} =0}$, neboť těleso zůstává v klidu nebo rovnoměrném přímočarém pohybu jen tehdy, pokud se nemění jeho vektor rychlosti. Pohybová rovnice má tedy tvar

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}=0}$

Ke stejné rovnici se dostaneme také v případě, že vyjdeme z pohybové rovnice a předpokládáme působení nulové síly, tzn. ${\displaystyle \mathbf {F} =0}$.

Poněvadž je zrychlení nulové, musí být rychlost konstantní, tedy ${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} _{0}}$, což vyhovuje prvnímu pohybovému zákonu.

Rychlost ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}}$ označuje konstantní vektor rychlosti, tzv. počáteční rychlost. Tato rychlost se bez působení síly v průběhu pohybu nemění.

Rovnoměrně zrychlený pohyb

Jde o pohyb v konstantním silovém poli, neboli všude a v každém okamžiku na těleso působí síla stejné velikosti, tedy ${\displaystyle \mathbf {F} ={\mbox{konst}}}$, a má směr souhlasný se směrem pohybu, tzn. ${\displaystyle \mathbf {F} \parallel \mathbf {v} }$. Vzhledem k tomu, že síla působí ve směru pohybu, má také zrychlení stejný směr jako rychlost, tzn. ${\displaystyle \mathbf {a} \parallel \mathbf {v} }$. Například na automobil působí tahová síla motoru. Jsou-li tedy všechny uvažované vektory rovnoběžné, nemusíme uvažovat vektorový charakter veličin. Rovnice se zjednoduší na tvar

${\displaystyle F=m{\frac {\mathrm {d^{2}} s}{\mathrm {d} t^{2}}}\,,}$

kde ${\displaystyle s=s(t)}$ je dráha v okamžiku t. Síla F na levé straně v tomto případě na ničem nezávisí, je konstantní. Z matematiky diferenciálních rovnic vyplývá, že všechna řešení této rovnice mají tvar

${\displaystyle s=s_{0}+v_{0}t+{\frac {1}{2}}{\frac {F}{m}}t^{2}\,,}$

kde F/m má význam zrychlení. Vidíme, že zrychlení nezávisí na čase, těleso při tomto silovém působení musí neustále rovnoměrně zrychlovat. Hodnoty ${\displaystyle s_{0}}$ a ${\displaystyle v_{0}}$ z rovnice nevyplývají, jde o počáteční podmínky: ${\displaystyle s_{0}}$ má význam počáteční polohy a ${\displaystyle v_{0}}$ je počáteční rychlost. Podmínky musí být dvě, jde o přímý důsledek faktu, že pohybová rovnice obsahuje druhou derivaci. V tomto případě má počáteční rychlost stejný směr jako působící síla.

Příkladem takového pohybu je volný pád.

Pokud je působící síla konstantní, tzn. ${\displaystyle \mathbf {F} ={\mbox{konst}}}$, ale nepůsobí ve směru pohybu, tzn. ${\displaystyle \mathbf {F} \nparallel \mathbf {v} }$, pak lze pohybovou rovnici vyjádřit ve tvaru

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}={\frac {\mathbf {F} }{m}}}$,

kde na pravé straně rovnice se nachází konstantní vektor a na levé straně zrychlení. Toto zrychlení je tedy také konstantní a má stejný směr jako působící síla, avšak na rozdíl od případu působení konstantní síly ve směru pohybu neleží toto zrychlení ve směru dráhy. Vektor zrychlení ${\displaystyle \mathbf {a} }$ má tedy v tomto případě jiný směr než vektor rychlosti ${\displaystyle \mathbf {v} }$, tzn. ${\displaystyle \mathbf {a} \nparallel \mathbf {v} }$.

Těleso v tomto případě vykonává obecný křivočarý pohyb. Při řešení se postupuje podobně jako v případě hledání sil při obecném křivočarém pohybu.

Příkladem takového pohybu je šikmý vrh.

Harmonický kmitavý pohyb

Mějme takové prostředí, že síla působící na těleso je přímo úměrná vzdálenosti (výchylce) od rovnovážné polohy a má směr k této poloze. Takový systém se označuje jako harmonický oscilátor. Příkladem je závaží zavěšené na pružině (viz Hookův zákon) anebo válcová zkumavka se zatíženým dnem, která se pohupuje na hladině vody (viz Archimédův zákon). Pohybová rovnice pro tento případ má tvar

${\displaystyle -ky=m{\frac {\mathrm {d^{2}} y}{\mathrm {d} t^{2}}}\,,}$

kde ${\displaystyle y=y(t)}$ je výchylka z rovnovážné polohy, m je hmotnost tělesa. V případě pružiny má konstanta k význam tuhosti. Řešením rovnice jsou všechny funkce ve tvaru

${\displaystyle y=y_{m}\sin \left(\omega t+\varphi _{0}\right)\,,}$

kde ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$ má význam úhlové rychlosti. Těleso tedy zákonitě musí vykonávat harmonický (sinusový) pohyb. Parametry ${\displaystyle y_{m}}$ a ${\displaystyle \varphi _{0}}$ jsou (opět dvě) konstanty, které jsou určeny z počátečních podmínek ( tj. jsou určeny z polohy a rychlosti v počátečním čase), jejichž fyzikální význam je maximální výchylka a počáteční fáze pohybu. Pro ${\displaystyle y_m=0}$Zdroj:https://cs.wikipedia.org?pojem=Hyperbolický_pohyb
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.