Grafy hyperbolických funkcií

Pojem hyperbolické funkcie označuje v matematike skupinu niekoľkých funkcií, ktoré sú analogicky podobné goniometrickým funkciám. Medzi základné hyperbolické funkcie patrí hyperbolický sínus (sinh, sh) a hyberbolický kosínus (cosh, ch), ďalej z nich odvodený hyberbolický tangens (tanh, th), hyberbolický kotangens (cotanh, coth, cth), sekans (sech), kosekans (csh). Inverzné funkcie k hyberbolickým funkciám označujeme ako hyperbolometrické funkcie.

Rovnako ako goniometrické funkcie sínus a kosínus, ktoré definujú body na jednotkovej kružnici, hyperbolický sínus a hyberbolický kosínus zase definujú body pravej časti rovnoosej hyperboly. Parametrom týchto funkcií je tzv. hyperbolický uhol.

Definície hyperbolických funkcií

Ako hyperbolické funkcie nazývame nasledujúce štyri funkcie, kde ${\displaystyle e}$ označuje Eulerovo číslo:

• Hyperbolický sínus:

${\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}}$ ; kde ${\displaystyle x\in (-\infty ,\infty )}$

• Hyperbolický kosínus:

${\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}}$ ; kde ${\displaystyle x\in (-\infty ,\infty )}$

• Hyperbolický tangens:

${\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}}$ ; kde ${\displaystyle x\in (-\infty ,\infty )}$

• Hyperbolický kotangens:

${\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}}$ ; kde ${\displaystyle x\in (-\infty ,\infty )/\{0\}}$

Vlastnosti

• Hyperbolické funkcie sú spojité na svojich definičných oboroch.

• Pre hyperbolický sínus a kosínus platí:

${\displaystyle {\cosh }^{2}{x}-{\sinh }^{2}{x}=1}$ pre všetky ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

• Pre hyperbolický sínus a kosínus ďalej platí:

${\displaystyle \cosh(x+y)=\cosh x\cdot \cosh y+\sinh x\cdot \sinh y}$ pre všetky ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \sinh(x+y)=\sinh x\cdot \cosh y+\cosh x\cdot \sinh y}$ pre všetky ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \cosh(2x)={\cosh }^{2}{x}+{\sinh }^{2}{x}}$

${\displaystyle \sinh(2x)=2\cosh x\cdot \sinh x}$

Monotónnsť a parita

Hyperbolický sínus je rastúca nepárna funkcia na intervale ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$, pričom limitne platí nasledovné:

• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\sinh x=\infty }$
• ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }\sinh x=-\infty }$

Hyperbolický kosínus je párna klesajúca funkcia na intervale ${\displaystyle (-\infty ,0)}$ a rastúca je na intervale ${\displaystyle x\in (0,\infty )}$. Limitne pre túto funkciu platí nasledovné:

• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\cosh x=\infty }$
• ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }\cosh x=\infty }$

Hyperbolický tangens je nepárna rastúca funkcia na intervale ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$. Limitne pre ňu platí:

• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\tanh x=1}$
• ${\displaystyle \underset{}{}}$Zdroj:
  Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.

  ---