hodnota funkcie sínus (vľavo), kosínus (dole) a tangens (vpravo) na jednotkovej kružnici(kružnica s polomerom 1)

Goniometrická funkcia v matematike je termín používaný pre jednu zo šiestich funkcií veľkosti uhla používaných pri skúmaní trojuholníkov a periodických javov. Goniometrické funkcie sú základom goniometrie. Obvykle sa definujú ako pomer dvoch strán pravouhlého trojuholníka alebo dĺžky určitých častí úsečiek v jednotkovej kružnici. Jej modernejšia definícia je založená na nekonečných radoch alebo riešeniach určitých diferenciálnych rovníc, vďaka čomu ich je možné aplikovať tiež na komplexné čísla. Inverzné funkcie ku goniometrickým funkciám sa označujú ako cyklometrické funkcie.

Goniometrické funkcie poznáme:

• sínus (sin)
• kosínus (cos)
• tangens (tg = sin/cos), (niekedy tiež tan)
• kotangens (cotg = cos/sin), (niekedy tiež cot, ctg alebo cotan)
• sekans (sec = 1/cos)
• kosekans (cosec = 1/sin)

Historicky sa používali ešte nasledujúce dve funkcie:

• versin = 1 − cos
• exsec = sec − 1

Najdôležitejšími funkciami sú sínus, kosínus a tangens.

Definícia

Pravouhlý trojuholník

Pravouhlý trojuholník s pravým uhlom pri vrchole C. Priľahlá a protiľahlá odvesna sa vzťahujú k uhlu α

Pri definícii pomocou pravouhlého trojuholníka sú jednotlivé prvky trojuholníka ABC nasledujúce:

• pravý uhol ${\displaystyle \gamma }$ je pri vrchole C
• určovaným uhlom je uhol ${\displaystyle \alpha }$, vzhľadom k nemu je
  • strana a označovaná protiľahlá odvesna
  • strana b označovaná priľahlá odvesna
  • najdlhšia strana c je nazývaná prepona trojuholníka

Predpokladá sa, že trojuholník leží v euklidovskom priestore a súčet jeho vnútorných uhlov je tak ${\displaystyle \pi }$ radiánov resp. 180 °. Potom:

• Sínus ${\displaystyle \alpha }$ je pomer dĺžky odvesny protiľahlej tomuto uhlu a dĺžky prepony.

${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {a}{c}}}$

• Kosínus ${\displaystyle \alpha }$ je pomer dĺžky odvesny priľahlej k tomuto uhlu a dĺžky prepony.

${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {b}{c}}}$

• Tangens ${\displaystyle \alpha }$ je pomer dĺžok odvesny protiľahlej k tomuto uhlu a dĺžky odvesny k nemu priľahlej.

${\displaystyle {\textrm {tg}}\,\alpha ={\frac {a}{b}}={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}}$

• Kotangens ${\displaystyle \alpha }$ je pomer dĺžok odvesny priľahlej k tomuto uhlu a dĺžky odvesny k nemu protiľahlej.

${\displaystyle {\textrm {cotg}}\,\alpha ={\frac {b}{a}}={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}}$

• Sekans ${\displaystyle \alpha }$ je pomer dĺžky prepony a dĺžky odvesny priľahlej k tomuto uhlu.

${\displaystyle \sec \alpha ={\frac {c}{b}}={\frac {1}{\cos \alpha }}}$

• Kosekans ${\displaystyle \alpha }$ je pomer dĺžky prepony a dĺžky odvesny protiľahlej k tomuto uhlu.

${\displaystyle {\textrm {cosec}}\,\alpha ={\frac {c}{a}}={\frac {1}{\sin \alpha }}}$

Jednotková kružnica

Jednotková kružnica

Týchto šesť funkcií môže byť tiež definovaných pomocou jednotkovej kružnice, čo je kružnica o polomere jedna so stredom v počiatku súradnicového systému. Tento spôsob definície nemá praktické využitie, pre väčšinu uhlov ide o postup založený na pravouhlých trojuholníkoch. Na druhej strane ide o postup veľmi názorný a umožňujúci definovať uhly v rozsahu 0 – 2 π a nie len 0 – π /2 radiánov, ako pri predchádzajúcom postupe. Rovnica jednotkovej kružnice je:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1\,}$

Na jednotkovú kružnicu sú vynášané orientované uhly θ tak, že ich vrchol je v strede kružnice a počiatočné rameno je totožné s kladnou (pravou) polosou vodorovnej osi súradníc. Ak sú veľkosti týchto uhlov kladné (väčšie ako nula) je uhol orientovaný proti smeru otáčania hodinových ručičiek. Ak sú záporné je uhol orientovaný v smeru otáčania. Druhé rameno uhla pretína jednotkovú kružnicu v bode, ktorého súradnice v danej sústave sú . Úsečka daná počiatkom súradnicovej sústavy a týmto bodom je preponou trojuholníka, ktorého odvesny majú dĺžku x a y. Pretože má tato prepona dĺžku 1, tak platí: ${\displaystyle x=\cos \theta }$ a ${\displaystyle y=\sin \theta }$. Pre uhly väčšie ako 2π, alebo menšie ako −2π, sa jednoducho pokračuje v otáčaní ramena uhla okolo stredu kružnice. Potom sa hodnoty funkcií sínus a kosínus začnú opakovať – hovoríme, že tieto funkcie sú periodické s periódou 2π (360°) a platí:

${\displaystyle \sin \theta =\sin \left(\theta +2\pi k\right)}$

${\displaystyle \cos \theta =\cos \left(\theta +2\pi k\right)}$

kde θ je ľubovoľný uhol a k ľubovoľné celé číslo.

Najmenšou periódou funkcií sin, cos, sec a cosec je plný uhol – teda 2π radiánov alebo 360 stupňov. Najmenšou periódou funkcií tg a cotg je uhol priamy – π resp. 180°.

Možná konštrukcia hodnôt jednotlivých goniometrických funkcií

Zatiaľčo priebeh funkcií sínus a kosínus je možné zostrojiť takýmto relatívne jednoduchým spôsobom, konštrukcia grafov ostatných funkcií je o niečo zložitejšia. Bežne sa používa ešte konštrukcia funkcií tangens a kotangens.

Rady

Aproximácia funkcie sínus (modro) pomocou Taylorovho polynómu siedmeho stupňa (červená)

Za pomoci geometrie a vlastností limít je možné ukázať, že derivácia sínusu je kosínus a derivácia kosínusu je mínus sínus. Potom je možné pomocou Taylorových radov vyjadriť sínus a kosínus pre všetky komplexné čísla x takto:

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$

${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}}$

Polynómy pre ďalšie goniometrické funkcie sú:

${\displaystyle {\textrm {tg}}\,x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+{\frac {17x^{7}}{315}}+\ldots }$, kde Zdroj:
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.

---