Geometrická posloupnost je druh matematické posloupnosti, kde každý člen kromě prvního je stálým násobkem předchozího členu. Tento násobek se nazývá kvocient geometrické posloupnosti a pro posloupnosti s nenulovými členy je roven podílu libovolného členu kromě prvního a členu předchozího.

Geometrickou posloupnost s nezápornými členy lze chápat jako zúžení exponenciální funkce na obor přirozených čísel (připouštíme však i základ 0 a 1) a proto i pro svou jednoduchost je jedním z nejdůležitějších typů posloupností.

Vyjádření členů posloupnosti

Pro vyjádření n-tého členu geometrické posloupnosti s kvocientem q lze použít různé vztahy.

Rekurentní zadání

Geometrické posloupnosti lze definovat jako řešení lineární rekurentní rovnice 1. řádu s konstantními koeficienty:

${\displaystyle a_{n+1}=a_{n}\cdot q}$

Řešením lze zjistit vzorec pro libovolný člen:

${\displaystyle a_{2}=a_{1}\cdot q,\quad a_{3}=a_{1}\cdot q^{2},\quad \ldots ,\quad a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}}$

První člen a₁ má libovolnou hodnotu (je to tzv. počáteční podmínka), obecný vztah pro n-tý člen se dokáže snadno matematickou indukcí.

Zadání vzorcem pro n-tý člen

${\displaystyle a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}}$.

Příklad

Například je-li ${\displaystyle a_{1}=2,q=3}$, pak několik prvních členů geometrické posloupnosti je: 2, 6, 18, 54, 162, 486 …

Pro ${\displaystyle a_{1}=1,q=-1}$ se jedná o posloupnost 1, -1, 1, -1, ...

Kvocient

Pro kvocient q a libovolné členy posloupnosti ${\displaystyle a_{r}}$ a ${\displaystyle a_{s}}$ platí:

${\displaystyle {\frac {a_{r}}{a_{s}}}=q^{r-s}}$

Součet prvních n členů

Součet prvních n členů geometrické posloupnosti se vypočítá (pro q≠1):

${\displaystyle s_{n}=a_{1}\cdot {\frac {q^{n}-1}{q-1}}=a_{1}\cdot {\frac {1-q^{n}}{1-q}}}$

a pro q=1 samozřejmě (jedná se pak o konstantní aritmetickou posloupnost):

${\displaystyle s_{n}=n\cdot a_{1}}$

Tento zvláštní případ lze také dostat z předchozího vzorce limitním přechodem pro ${\displaystyle q\to 1}$.

Vztahy platí v libovolném komutativním tělese, např. komplexních čísel.

Příklad

Součet prvních pěti členů posloupnosti z předchozího příkladu (${\displaystyle a_{1}=2,q=3}$) je:

${\displaystyle s_{5}=2\cdot {\frac {3^{5}-1}{3-1}}=242}$

Odvození vzorce

Součet prvních n členů geometrické posloupnosti lze vyjádřit jako ${\displaystyle s_{n}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}=a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{2}+\ldots +a_{1}q^{n-1}}$.

Vynásobením obou stran rovnice kvocientem q vznikne ${\displaystyle s_{n}q=a_{1}q+a_{1}q^{2}+a_{1}q^{3}+\ldots +a_{1}q^{n}}$.

Odečtením první rovnice od druhé vyjde ${\displaystyle s_{n}q-s_{n}=a_{1}q^{n}-a_{1}}$.

Takže (je-li q různé od 1) platí

${\displaystyle s_{n}=a_{1}{\frac {q^{n}-1}{q-1}}}$.

Pro q = 1 je součet prvních n členů triviální, jedná se o (konstantní) aritmetickou posloupnost (lze dostat i limitním přechodem),

${\displaystyle s_{n}=na_{1}.}$

Jiný způsob odvození vzorce

Součet prvních ${\displaystyle n}$ členů posloupnosti lze spočítat „hrubou silou“ následovně:

${\displaystyle s_{n}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}}$,

kde členy ${\displaystyle a_{2}\ldots a_{n}}$ lze vyjádřit pomocí ${\displaystyle a_{}}$Zdroj:https://cs.wikipedia.org?pojem=Geometrická_řada
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.