Exponenciální funkce je matematická funkce ve tvaru ${\displaystyle y=a^{x}}$, kde ${\displaystyle a}$ je kladná reálná konstanta různá od ${\displaystyle 1}$, která je nazývána základ. Exponent ${\displaystyle x}$ je reálná nezávisle proměnná (argument), definici lze ovšem rozšířit na komplexní argumenty i na složitější objekty, zejména lineární operátory. Inverzní funkcí k exponenciální funkci je funkce logaritmus ${\displaystyle \log _{a}(a^{x})=x.}$ Křivku, která je grafem exponenciální funkce, nazýváme exponenciála a často je tak nazývána i sama exponenciální funkce.

Exponenciální funkce neustále zrychluje svůj růst, má tzv. exponenciální růst, což je běžně používaný pojem. Je však používán i pojem exponenciální pokles. V přírodě se exponenciální růst vyskytuje například u šíření virů (např. nástup epidemie chřipky, exponenciální pokles pak při jejím ústupu) nebo dělení buněk v ideálním prostředí (růst však není nekonečný, ale narazí dříve či později na limity prostředí). V ekonomii je exponenciální růst u složeného úročení nebo žádoucí průběh ukazatele, který například odpovídá zvyšování odbytu nově uváděného zboží na trh.

Charakteristika

V oboru reálných čísel je exponenciální funkce ${\displaystyle y=a^{x}}$pro ${\displaystyle a>1}$ (ostře) rostoucí, pro ${\displaystyle a<1}$ (ostře) klesající.

Pro exponenciální funkci platí exponenciální identita:

${\displaystyle a^{(x+y)}=a^{x}\cdot a^{y}}$,

díky které je možné definovat hodnoty exponenciální funkce i pro jiné než celočíselné argumenty (viz část Definice článku Umocňování).

Derivací exponenciální funkce je opět exponenciální funkce vynásobená přirozeným logaritmem základu:

${\displaystyle (a^{x})'=\ln a\cdot a^{x}}$.

Významnou roli má exponenciální funkce s takovým základem, že je přesně rovna své derivaci. Tímto základem je Eulerovo číslo ${\displaystyle e\approx 2,718281828459}$ a tuto funkci ${\displaystyle y=e^{x}}$ nazýváme přirozená exponenciální funkce. Zapisujeme ji také jako exp x, což umožňuje zápis v jednom řádku bez exponentů:

${\displaystyle \exp x=e^{x}}$.

Důležitou exponenciální funkcí je také dekadická exponenciální funkce, která má základ rovný deseti, tedy ${\displaystyle y=10^{x}}$.^[1]

Exponenciální funkci s obecným základem lze převést na základ ${\displaystyle e}$ pomocí vzorce ${\displaystyle a^{x}=\exp(x\cdot \ln a)=e^{(x\cdot \ln a)}}$.

Formální definice

Exponenciální funkce e^x může být charakterizována různými ekvivalentními způsoby. Zejména může být definována následující mocninnou řadou:

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots }$

Méně často je e^x definováno jako řešení y rovnice

${\displaystyle x=\int _{1}^{y}{1 \over t}\mathrm {d} t}$.

Lze ji definovat také následující limitou:

${\displaystyle e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}$.

Vlastnosti exponenciální funkce reálného argumentu

V oboru reálných čísel pro každou exponenciální funkci ${\displaystyle y=a^{x}}$ (${\displaystyle a>0}$) platí:

• je zdola omezená
• je prostá
• je spojitá v každém bodě, ale není stejnoměrně spojitá na celém ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• pro a > 1 je rostoucí, pro a ∈ (0; 1) klesající
• ${\displaystyle a^{0}=1}$ (tedy graf exponenciální funkce prochází bodem )
• ${\displaystyle a^{(x+y)}=a^{x}\cdot a^{y},}$ ve speciálním případě ${\displaystyle \exp(x+y)=(\exp x)\cdot (\exp y)}$.

Exponenciála o základu e

Často používaný základ exponenciální funkce je Eulerovo číslo ${\displaystyle e}$, kdy ji nazýváme přirozená exponenciální funkce.

${\displaystyle y=e^{x}}$

Funkce ${\displaystyle e^{x}}$ je až na násobek jediné řešení diferenciální rovnice

${\displaystyle (e^{x})'=e^{x}}$

Funkce ${\displaystyle e^{x}}$ se obvykle definuje mocninnou řadou

${\displaystyle e^{x}=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {x^{j}}{j!}},}$

která konverguje pro každé reálné i komplexní ${\displaystyle x}$. Obecná exponenciální funkce se pak dá definovat jako

${\displaystyle a^x=e^{x\ln a}}$Zdroj:https://cs.wikipedia.org?pojem=Exponenciální_funkce
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.

---