Extrém je hodnota funkcie, ktorá má tú vlastnosť, že je buď najmenšia alebo najväčšia spomedzi všetkých funkčných hodnôt na určitom intervale. Extrémy funkcie sa rozlišujú na lokálne a globálne.

Lokálne minimum ${\displaystyle f(x_{0})}$ je najmenšia hodnota, ktorú funkcia ${\displaystyle f}$ nadobúda na nejakom okolí A bodu ${\displaystyle x_{0}}$.

${\displaystyle \forall x\in A\subset D(f):f(x)\geq f(x_{0})}$

Lokálne maximum ${\displaystyle f(x_{0})}$ je opak lokálneho minima, teda najväčšia hodnota, ktorú daná funkcia nadobúda na nejakom okolí A bodu ${\displaystyle x_{0}}$.

${\displaystyle \forall x\in A\subset D(f):f(x)\leq f(x_{0})}$

Globálne minimum ${\displaystyle f(x_{0})}$ je najmenšia funkčná hodnota spomedzi všetkých funkčných hodnôt funkcie na jej definičnom obore.

${\displaystyle \forall x\in D(f):f(x)\geq f(x_{0})}$

Globálne maximum ${\displaystyle f(x_{0})}$ je najväčšia funkčná hodnota spomedzi všetkých funkčných hodnôt funkcie na jej definičnom obore.

${\displaystyle \forall x\in D(f):f(x)\leq f(x_{0})}$

Funkcia môže mať extrém v bode ${\displaystyle x_{0}}$ vtedy, ak je v danom bode prvá derivácia funkcie nulová alebo ak táto derivácia neexistuje.

Ak platí :

${\displaystyle f'(x_{0})=0}$

potom :

Ak ${\displaystyle f''(x_{0})<0}$, ide o lokálne maximum.
Ak ${\displaystyle f''(x_{0})>0}$, ide o lokálne minimum.
Ak ${\displaystyle f''(x_{0})=0}$ a ${\displaystyle f'''(x_{0})<>0}$, ide o tzv. sedlový, resp. inflexný bod, a tu sa lokálny extrém nenachádza.

Pri hľadaní extrémov funkcie ${\displaystyle f(x)=x^{2}+4x+1}$ treba najprv funkciu zderivovať. Deriváciou vznikne funkcia ${\displaystyle f'(x)=2x+4}$. Extrém môže byť v tom bode, v ktorom je derivácia danej funkcie nulová, teda

${\displaystyle f'(x_{0})=0\Leftrightarrow x_{0}=-2}$

Druhá derivácia v bode –2 je kladná, preto má daná kvadratická funkcia v bode –2 minimum.

Prípad, kedy je derivácia v bode nulová, ale nie je tam extrém, je funkcia ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$, jej derivácia je ${\displaystyle f'(x)=3x^{2}}$. Možný extrém je v bode 0, pretože ${\displaystyle f'(0)=0}$, ale funkcia je na celom intervale rastúca, takže sa v tom bode extrém nachádza.

• Maximum a minimum funkcie