Derivácia (funkcia) - Biblioteka.sk

Upozornenie: Prezeranie týchto stránok je určené len pre návštevníkov nad 18 rokov!
Zásady ochrany osobných údajov.
Používaním tohto webu súhlasíte s uchovávaním cookies, ktoré slúžia na poskytovanie služieb, nastavenie reklám a analýzu návštevnosti. OK, súhlasím


Panta Rhei Doprava Zadarmo
...
...


A | B | C | D | E | F | G | H | CH | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9

Derivácia (funkcia)
Derivácia funkcie v nejakom bode sa rovná smernici jej dotyčnice v tomto bode

Derivácia nejakej funkcie je zmena (rast) tejto funkcie v pomere k veľmi malej zmene jej premennej či premenných. Opačným procesom k derivovaniu je integrovanie.

Je to jeden zo základných pojmov matematiky, konkrétne diferenciálneho počtu.

Koncept derivácie sa dá intrepretovať rôznymi spôsobmi, napríklad v prípade dvojrozmerného grafu funkcie f(x), je derivácia tejto funkcie v ľubovoľnom bode (v ktorom existuje) rovná smernici dotyčnice tohto grafu. Z toho vidno, že sa pojem derivácie objavuje aj v mnohých geometrických súvislostiach, napr. pri pojme konkávnosť.

Definícia derivácie

Historické definície vyjadrovali deriváciu ako pomer, v akom rast nejakej premennej y zodpovedá zmene inej premennej x, na ktorej má táto premenná nejakú funkčnú závislosť. Pre zmenu hodnoty sa používa symbol Δ, takže tento pomer možno symbolicky zapísať ako

.

Derivácia je hodnota podielu pre Δx blížiacej sa k 0. Ak nahradíme konečne malý rozdiel Δx nekonečne malou zmenou dx, získame definíciu derivácie

čo označuje pomer dvoch infinitezimálných hodnôt. Tento zápis sa číta dy podľa dx a pochádza od Leibniza.

Počas vývoja matematiky sa intuitívna predstava nekonečne malých (infinitezimálnych) hodnôt ukázala ako nedostatočne presná a bola nahradená "ε-δ" formalizmom limít. Najbežnejšia moderná definícia derivácie je:

Derivácia sa značí niekoľkými spôsobmi:

  • (derivácia funkcie f ktorá závisí od premennej x),
  • (derivácia funkcie f(x) podľa premennej x),
  • (d f podľa d x),
  • (d podľa x f),
  • Newtonova notácia používa bodku nad premennou: , používa sa obvykle iba vo fyzike pre derivovanie podľa premennej vyjadrujúcej čas (t).

dx v niektorých zápisoch je dnes len obyčajný symbol bez názorného obsahu.

Nie vždy však limita, ktorá deriváciu definuje, existuje a je konečná, čiže nie každá funkcia má v každom bode deriváciu.

Hovoríme, že funkcia f je v bode x diferencovateľná, ak hlavná časť prírastku funkcie v okolí tohoto bodu je lineárna. Teda ak existuje číslo také, že

Funkcia je diferencovateľná v bode práve vtedy keď v ňom má deriváciu a v tom prípade dotyčné číslo je rovné tej derivácii.

Funkcia je diferencovateľná na intervale I, ak je diferencovateľná v každom bode tohto intervalu. Funkcia nemá deriváciu v mieste, kde nie je spojitá, ale spojitosť funkcie existenciu derivácie nezaručuje – funkcia môže mať v danom bode zvislú dotyčnicu (čo by zodpovedalo nekonečnej derivácii), prípadne v danom bode nemusí mať dotyčnicu vôbec (v mieste, kde má graf funkcie „špičku“, napr. absolútna hodnota x nemá v bode nula deriváciu). Existujú dokonca funkcie, ktoré sú spojité v každom bode, ale nemajú v žiadnom bode deriváciu (napr. Weierstrassova funkcia).

Ak je daná funkcia diferencovateľná na nejakom intervale, môžeme na tomto intervale definovať funkciu, ktorá je v každom bode tohto intervalu rovná príslušnej derivácii. Takáto funkcia sa potom označuje prosto ako derivácia funkcie f.

Deriváciou diferencovateľnej funkcie je teda opäť funkcia, ktorá však niekedy môže byť tiež diferencovateľná. Deriváciu derivácie funkce nazývame druhá derivácia, deriváciu druhej derivácie tretia derivácia atď. Tieto derivácie vyšších rádov sa zvyčajne značia f″(x), f′′′(x), pre ešte vyššie rády skôr f(3)(x), f(4)(x) atď. Pri použití Leibnizovej notácie sa derivácie vyšších rádov označujú exponentom, napr. .

Zovšeobecnenie

Zovšeobecnením pojmu derivácie pre funkcie viacerých premenných je tzv. parciálna derivácia, kde sa u funkcie viacerých premenných považuje za premennú len tá, podľa ktorej sa derivuje, ostatné sú v tomto výpočte považované za konštanty. Parciálna derivácia sa značí obdobne ako obyčajné derivácie, len namiesto znamienka d sa používa znamienko ∂, napr. – parciálna derivácia funkcie f podľa premennej y. Ak napríklad uvažujeme funkciu dvoch premenných , tak potom definujeme jej parciálne derivácie v bode takto

Diferencovateľnosť funkcie viac premenných sa tiež definuje pomocou linearity hlavnej časti prírastku funkcie. V tomto prípade však už existencia parciálnych derivácií diferencovateľnosť nezabezpečuje. Taktiež pri komplexných funkciách komplexnej premennej možno uvažovať parciálne derivácie podľa reálnej a imaginárnej zložky premennej, ale ich existencia nie je postačujúcou podmienkou pre diferencovateľnosť celej funkcie, pozri aj holomorfná funkcia, Cauchyho-Riemannove podmienky.

Výpočty derivácií

Principiálne základnou technikou je výpočet priamo z definície, čiže dosadením príslušnej funkcie do definujúcej limity a výpočtom tejto limity. Tento spôsob je však zvyčajne (až na veľmi jednoduché funkcie) dosť komplikovaný a v praxi sa nepoužíva. Namiesto toho sa derivácie funkcií počítajú zo známych derivácií niekoľko základných funkcií a jednoduchých algebraických pravidiel pre ich skladanie a ďalšie úpravy.

Elementárne funkcie

Derivácie niektorých elementárnych funkcií
Funkcia Derivácia
Polynómy
(c je konštanta)
(c je konštanta)
Mocniny, logaritmy
(c je konštanta, c > 0, c ≠ 1)
(a je konštanta, a > 0, a ≠ 1)
Goniometrické funkcie