Asymptotická hustota je jedno spomedzi mnohých čísel udávajúcich, ako husto sú prvky danej podmnožiny prirodzených čísel rozprestrené v samotných prirodzených číslach. Presne je asymptotická hustota ${\displaystyle d(A)}$ množiny ${\displaystyle A}$ prirodzených čísel definovaná vzťahom

${\displaystyle d(A)=\lim _{n\to \infty }{\frac {A(n)}{n}}}$

kde ${\displaystyle A(n)=\left|A\cap \{1,2,3,\ldots ,n\}\right|}$ je počet všetkých prvkov množiny ${\displaystyle A}$, ktoré sú menšie než prirodzené číslo ${\displaystyle n}$. Ak limita v tomto definujúcom vzťahu existuje, hovoríme, že množina ${\displaystyle A}$ má asymptotickú hustotu. Nie všetky podmnožiny množiny prirodzených čísel majú asymptotickú hustotu.

Horná a dolná asymptotická hustota

Horná asymptotická hustota podmnožiny ${\displaystyle A}$ prirodzených čísel je číslo

${\displaystyle {\overline {d}}(A)=\limsup _{n\to \infty }{\frac {A(n)}{n}}}$

zatiaľ čo jej dolná asymptotická hustota je

${\displaystyle {\underline {d}}(A)=\liminf _{n\to \infty }{\frac {A(n)}{n}}.}$

Na rozdiel od asymptotickej hustoty, horná a dolná asymptotická hustota existuje pre každú podmnožinu prirodzených čísel. Je zrejmé, že množina má asymptotickú hustotu vtedy a len vtedy ak sa jej horná a dolná asymptotická hustota rovnajú.

Príklady

• Množina prirodzených čísel ale aj všetky jej kokonečné podmnožiny majú asymptotickú hustotu 1.
• Prázdna množina ale aj všetky konečné podmnožiny prirodzených čísel majú asymptotickú hustotu 0.
• Množina párnych kladných čísel a množina nepárnych kladných čísel majú asymptotickú hustotu 1/2.
• Množina všetkých členov aritmetickej postupnosti {an+b} s diferenciou a má asymptotickú hustotu 1/a.
• Množina štvorcov alebo množina dokonalých čísel sú príkladmi nekonečných množín ktorých asymptotická hustota je 0.
• Príkladom množiny ktorá nemá asymptotickú hustotu je

${\displaystyle A=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\{n\in \mathbb {N} \,|\,2^{2n+1}-2^{2n-1}\leq n\leq 2^{2n+1}\}}$.

• O množine abundantných čísel sa vie, že má asymptotickú hustotu, zatial ale nie je známa jej presná hodnota. Vie sa iba toľko, že táto asymptotická hustota sa nachádza v intervale .

Vlastnosti

• Ak množina ${\displaystyle A}$ má asymptotickú hustotu, potom platí ${\displaystyle d(A^{c})=1-d(A)}$, kde ${\displaystyle A^{c}}$ je komplement množiny ${\displaystyle A}$ vzhľadom k množine prirodzených čísel. Pre hornú a dolnú hustotu máme ${\displaystyle {\overline {d}}(A^{c})=1-{\underline {d}}(A)}$.
• Pre ľubovoľnú podmnožinu prirodzených čísel platí ${\displaystyle 0\leq {\underline {d}}(A)\leq {\underline {d}}(B)\leq 1}$.
• Pre disjunktné množiny ${\displaystyle A,B\subseteq \mathbb {N} }$ platí

${\displaystyle {\underline {d}}(A)+{\underline {d}}(B)\leq {\underline {d}}(A\cup B)\leq {\underline {d}}(A)+{\overline {d}}(B)\leq {\overline {d}}(A\cup B)\leq {\overline {d}}(A)+{\overline {d}}(B)}$

Špeciálne, ak ${\displaystyle A}$ aj ${\displaystyle B}$ majú hustotu, tak dostaneme ${\displaystyle d(A\cup B)=d(A)+d(B)}$. Teda asymptotická hustota je konečne aditívna.

Literatúra

• KOLIBIAR, Milan; LEGÉŇ, Anton; ŠALÁT, Tibor; ZNÁM, Štefan. Algebra a príbuzné disciplíny. Bratislava : Alfa, 1992. ISBN 80-05-00721-3.

Pozri aj

• Schnirelmannova hustota