Čtyřvektor je analogie pojmu vektor používaná v teorii relativity. Prostor a čas podle ní tvoří jediný celek, čtyřrozměrný časoprostor. Každá vektorová veličina (trojice reálných hodnot) je přirozeně spojena s další číselnou veličinou, které říkáme časová složka čtyřvektoru tak, aby byl výsledný objekt nezávislý na vztažné soustavě.

Formálněji je čtyřvektor prvek čtyřrozměrného reálného vektorového prostoru, tzv. Minkowského prostoru (který je ve speciální teorii relativity totožný s časoprostorem). Složky čtyřvektoru se při Lorentzových transformacích, rotacích a translacích, tedy při přechodu z jedné (zcela obecné) inerciální vztažné soustavy do jiné, transformují jako vektory. Tyto transformace tvoří uzavřenou spojitou grupu, tzv. Poincarého grupu.

Čtyřvektory hrají roli v popisu fyzikálních veličin nezávislých na vztažné soustavě i v obecně křivém prostoročasu, který využívá obecná teorie relativity. Zde Minkowského prostor hraje roli tečného (vektorového) prostoru. Všechny zákony, které musí být nezávislé na vztažné soustavě, je potřeba formulovat pomocí rovnic mezi čtyřvektory, nebo čtyřtenzory. Tomuto požadavku se říká princip obecné kovariance.

Značení

Čtyřvektor značíme zápisem jeho souřadnic ${\displaystyle \scriptstyle a^{\mu }=\left(a^{t},a^{x},a^{y},a^{z}\right)}$, resp. ${\displaystyle \scriptstyle a_{\mu }=\left(a_{t},a_{x},a_{y},a_{z}\right)}$, přičemž ${\displaystyle \scriptstyle a_{t}=-a^{t},a_{x}=a^{x},a_{y}=a^{y},a_{z}=a^{z}}$ (v inerciální soustavě, za předpokladu ortonormální prostorové baze). Při zápisu čtyřvektorů je totiž nutné rozlišovat mezi kovariantními a kontravariantními složkami vektorů, ty po řadě značíme řeckým indexem dole, resp. nahoře. Přitom bývá zvykem užívat tzv. Einsteinovu sumační konvenci, tedy že pokud jsou v nějakém výrazu dva stejné indexy proti sobě, pak se sčítá přes všechny možné hodnoty, které mohou nabývat. Díky metrice Minkowského prostoru se u časových složek čtyřvektorů při změně polohy indexů změní znaménko. (viz příklad výše) Zvedání a snižování dolních a horních indexů se děje podle pravidla ${\displaystyle \scriptstyle a_{\mu }=\eta _{\mu \nu }a^{\nu }}$ a ${\displaystyle \scriptstyle a^{\mu }=\eta ^{\mu \nu }a_{\nu }}$, kde ${\displaystyle \eta }$ je Minkowského metrika, která má v „inerciálních a ortonormálních“ souřadnicích vyjádření ${\displaystyle \scriptstyle \eta _{\mu \nu }=\eta ^{\mu \nu }=\mathrm {diag} (-1,1,1,1)}$.

V článku rovněž užíváme běžné prostorové vektory, které značíme jako ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {a} }$, nebo, zapsáno ve složkách, ${\displaystyle a^{i}=(a_{x},a_{y},a_{z})}$. Protože (troj)vektory z klasické fyziky se vůči Lorentzově transformaci netransformují jako vektory, není potřeba polohu jejich indexu rozlišovat a píšeme jej vždy dole.

Ve vzorcích vystupuje rychlost světla ve vakuu c = 299 792 458 m/s, což vyjadřuje odlišné měřítko na časové ose. Z hlediska teorie relativity je ale přirozené měřit čas ve stejných jednotkách jako vzdálenost. Někdy se proto volí takové jednotky, aby bylo ${\displaystyle c=1}$, například můžeme měřit délku ve světelných sekundách. Tím konstanta zmizí, výpočty se zjednoduší a na fyzikálních závěrech se nic nezmění. Vizte též článek Přirozená soustava jednotek.

Transformace čtyřvektorů

Popíšeme-li stejnou fyzikální situaci v jiné inerciální vztažné soustavě ${\displaystyle S'}$, která se vůči původní soustavě ${\displaystyle S}$ pohybuje rychlostí ${\displaystyle v}$ podél osy ${\displaystyle x}$, projdou místa a časy událostí Lorentzovou transformací.

${\displaystyle t'=\gamma (t-vx/c^{2})}$

${\displaystyle x'=\gamma (x-vt)}$

${\displaystyle y'=y}$

${\displaystyle z'=z}$

Vidíme, že časová složka a prostorová složka ve směru pohybu se „promíchají“, což je důvod, proč se v teorii relativity zavádí časoprostor a čtyřvektory. Stejným způsobem se vedle událostí změní i souřadnice všech ostatních čtyřvektorů, například elektrické pole se promíchá s magnetickým. Matematicky jde o lineární transformaci, která odpovídá násobení čtyřvektoru Lorentzovou maticí ${\displaystyle \Lambda }$:

${\displaystyle {a^{\mu }}\rightarrow {a'^{\mu }}=\Lambda _{\nu }^{\mu }{a^{\nu }}\,.}$

Rozepsáním do složek dostaneme

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{t}'\\a_{x}'\\a_{y}'\\a_{z}'\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma &-\gamma \beta &0&0\\-\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{t}\\a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\\\end{pmatrix}}\,,}$

kde ${\displaystyle \scriptstyle \gamma =1/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$ je Lorentzův faktor a ${\displaystyle \scriptstyle \beta =v/c}$ je bezrozměrná rychlost. Matice ${\displaystyle \Lambda }$ je unitární a její determinant je roven 1. To znamená, že Lorentzovu transformaci si můžeme představit jako rotaci v prostoru čtyřvektorů ${\displaystyle {\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}$Zdroj:https://cs.wikipedia.org?pojem=Čtyřhybnost
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.