A | B | C | D | E | F | G | H | CH | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
Aritmetická posloupnost je druh matematické posloupnosti, kde je stálý rozdíl mezi sousedními členy. Tento rozdíl mezi libovolným členem kromě prvního a předcházejícím členem se obvykle značí d a nazývá diference. Aritmetickou posloupnost lze chápat jako lineární funkci definovanou v oboru přirozených čísel a proto i pro svou jednoduchost je jedním z nejdůležitějších typů posloupností. Zobecněním je aritmetická posloupnost vyššího řádu (někdy též vyššího stupně), jejíž i-tý člen lze vyjádřit jako hodnotu nějakého pevného polynomu pro dané i. Řád aritmetické posloupnosti pak definujeme jako stupeň tohoto polynomu, přičemž posloupnost samých nul má řád -1.[1]
Vzorce
V následujících vzorcích označuje n-tý člen aritmetické posloupnosti a d její diferenci.
Rekurentní zadání
- známe některý člen a jeho index:
- známe rekurentní vzorec vyjadřující, že sousední členy se liší o konstantu:
Zadání vzorcem pro n-tý člen
Vyjádření r-tého členu z s-tého
Součet prvních n členů
Odvození vzorce pro součet prvních n členů
Součet prvních členů aritmetické posloupnosti lze spočítat následovně:
Napišme součet znovu, ale v obráceném pořadí sčítanců:
Vidíme, že součty odpovídajících členů "pod sebou" jsou stejné:
Historická souvislosteditovat | editovat zdroj
Pro důkaz vzorce pro výpočet součtu aritmetické posloupnosti (viz přiložený animovaný obrázek) je možné využít příběh o mladém matematikovi K. F. Gaussovi (1777–1855). Když byl Gauss malým žáčkem, potřeboval žáčky jejich učitel zaměstnat, a tak jim zadal úkol sečíst čísla od 1 do 100. Zatímco spolužáci byli teprve na začátku výpočtu, malý žáček Gauss již hlásil výsledek (celkem 5 050). Uvědomil si totiž, že když si napíše řadu čísel 1 až 100 a nad ní stejnou řadu v obráceném pořadí, bude součet pod sebou napsaných čísel vždy 101 (první a poslední člen je , druhý a předposlední člen je , atd.) a těchto součtů bude celkem 100. Takže celkový součet bude , avšak řada je v něm započtena dvakrát, takže je výsledek nutné vydělit dvěma, a proto bude součet řady .[2]
Příkladeditovat | editovat zdroj
Například je-li a , pak několik prvních členů aritmetické posloupnosti je: −5, −2, 1, 4, 7, 10, 13, …
Souvislost s aritmetickým průměremeditovat | editovat zdroj
Pro aritmetickou posloupnost platí, že každý člen kromě prvního je aritmetickým průměrem obou sousedních členů:
Obráceně pokud tato vlastnost platí pro všechny členy posloupnosti počínaje druhým, tak se jedná o aritmetickou posloupnost (důkaz např. matematickou indukcí).
Souvislost s geometrickou posloupnostíeditovat | editovat zdroj
Je-li posloupnost aritmetická, tak je posloupnost geometrická (pro libovolný základ b≥0).
Je-li posloupnost geometrická s kladnými členy, tak je posloupnost aritmetická (pro libovolný základ b>0, b≠1).
Aritmetická řadaeditovat | editovat zdroj
Součet členů aritmetické posloupnosti je označován jako aritmetická řada. Kromě případu posloupnosti samých nul je řada divergentní.
Součet aritmetické řady je dán jako limita posloupnosti n-tých částečných součtů. Platí tedy
- ,
kde kladné znaménko platí pro
Antropológia
Aplikované vedy
Bibliometria
Dejiny vedy
Encyklopédie
Filozofia vedy
Forenzné vedy
Humanitné vedy
Knižničná veda
Kryogenika
Kryptológia
Kulturológia
Literárna veda
Medzidisciplinárne oblasti
Metódy kvantitatívnej analýzy
Metavedy
Metodika
Text je dostupný za podmienok Creative
Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších
podmienok.
Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky
použitia.
www.astronomia.sk | www.biologia.sk | www.botanika.sk | www.dejiny.sk | www.economy.sk | www.elektrotechnika.sk | www.estetika.sk | www.farmakologia.sk | www.filozofia.sk | Fyzika | www.futurologia.sk | www.genetika.sk | www.chemia.sk | www.lingvistika.sk | www.politologia.sk | www.psychologia.sk | www.sexuologia.sk | www.sociologia.sk | www.veda.sk I www.zoologia.sk