V lineární algebře je subdeterminant nebo též minor matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ determinantem podmatice, která byla z matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ získána odstraněním některých řádků a sloupců. Počet řádků podmatice je řádem subdeterminantu. Subdeterminanty získané odstraněním právě jednoho řádku a jednoho sloupce ze čtvercové matice umožňují redukovat řád determinantu pomocí rozvoje podle řádku nebo sloupce. Prostřednictvím adjungované matice také souvisejí s inverzní maticí.

Definice

Pro matici ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ typu ${\displaystyle m\times n}$ a ${\displaystyle 0\leq k\leq \min\{m,n\}}$ se subdeterminantem nebo minorem řádu ${\displaystyle k}$, nazývá determinant čtvercové matice řádu ${\displaystyle k}$ získané z matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ odebráním ${\displaystyle m-k}$ řádků a ${\displaystyle n-k}$ sloupců. Někdy se používá slovo „stupeň“ pro „řád“ subdeterminantu či minoru. Termín „minor“ se také nesprávně používá k označení čtvercové matice řádu ${\displaystyle k}$ získané uvedeným způsobem, ale tato matice by měla být označována jako (čtvercová) podmatice matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$, přičemž výraz „minor“ by měl být užíván pouze pro determinant této matice.

Matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ typu ${\displaystyle m\times n}$ má celkem ${\displaystyle {\binom {m}{k}}\cdot {\binom {n}{k}}}$ subdeterminantů řádu ${\displaystyle k}$. Subdeterminant řádu nula je definován jako 1.

Operace odebrání formálně spočívá ve výběru posloupnosti indexů řádků ${\displaystyle 1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq m}$ a posloupnosti indexů sloupců ${\displaystyle 1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k}\leq n}$. Tyto vybrané množiny indexů ${\displaystyle I=\{i_{1},\dots ,i_{k}\}}$ a ${\displaystyle J=\{j_{1},\dots ,j_{k}\}}$ se použijí k výpočtu determinantu podmatice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$, čili výrazu:

${\displaystyle \det({\boldsymbol {A}})={\begin{vmatrix}a_{i_{1},j_{1}}&a_{i_{1},j_{2}}&\dots &a_{i_{1},j_{k}}\\a_{i_{2},j_{1}}&a_{i_{2},j_{2}}&\dots &a_{i_{2},j_{k}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i_{k},j_{1}}&a_{i_{k},j_{2}}&\dots &a_{i_{k},j_{k}}\end{vmatrix}}}$

Je-li ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ čtvercová matice řádu ${\displaystyle n}$, potom její první minor je každý subdeterminant řádu ${\displaystyle n-1}$, a jako takový vzniká odebráním jednoho řádku a sloupce. Podobně pro druhé a další minory. Za nultý minor čtvercové matice lze považovat její determinant.

První minor, který je determinantem podmatice vytvořené z čtvercové matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ odstraněním ${\displaystyle i}$-tého řádku a ${\displaystyle j}$-tého sloupce se nazývá subdeterminant (minor) příslušný k prvku ${\displaystyle a_{ij}}$ matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$.

Pokud ${\displaystyle I=J}$, čili pokud z matice bylo ponecháno ${\displaystyle k}$ řádků a sloupců se stejnými indexy, nazývá se odpovídající subdeterminant hlavním minorem stupně ${\displaystyle k}$ (platí i pro obdélníkové matice). Hlavní minor stupně ${\displaystyle k}$, vzniklý odebráním posledních ${\displaystyle m-k}$ řádků a ${\displaystyle n-k}$ sloupců, neboli daný množinami ${\displaystyle I=J=\{1,2,\dots ,k\},}$ se nazývá vedoucí hlavní minor řádu ${\displaystyle k}$. U čtvercových matic řádu ${\displaystyle n}$ se nazývá též ${\displaystyle (n-k)}$-tý vedoucí (hlavní) minor.

Někdy jsou vedoucí hlavní minory nazývány hlavními minory, zatímco první zmíněné nejsou nijak zvlášť pojmenovány.

Ukázka

U reálné matice

Zdroj:https://cs.wikipedia.org?pojem=Subdeterminant
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.

---