Graf kvadratickej funkcie
y = x² − x − 2 = (x + 1)(x − 2)
x-ové hodnoty bodov, kde graf pretína os x , x = −1 a x = 2, sú koreňmi (výsledkami) kvadratickej rovnice
x² − x − 2 = 0 .

Kvadratická rovnica alebo algebrická rovnica druhého stupňa je matematická rovnica, ktorá má nasledujúci všeobecný tvar:

${\displaystyle a_{1}x_{1}^{2}+a_{2}x_{2}^{2}+...+b_{1}x_{1}+b_{2}x_{2}+...+c=0}$

Kvadratická rovnica v užšom zmysle je kvadratická rovnica len s jednou neznámou.

Kvadratická rovnica s jednou neznámou

Kvadratická rovnica s jednou neznámou je najbežnejší prípad kvadratickej rovnice. Má všeobecný vzorec:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$

Člen a nazývame kvadratický člen, b lineárny člen a c absolútny člen, pričom a ≠ 0 . Ak a = 0, výsledok je lineárna rovnica.

Diskriminant kvadratickej rovnice

Diskriminant kvadratickej rovnice určíme podľa vzorca

${\displaystyle D=b^{2}-4ac}$

Ak je diskriminant väčší ako 0 a všetky členy patria do množiny reálnych čísel, rovnica má dva reálne korene. Ak sa diskriminant rovná 0, rovnica má jeden dvojnásobný koreň a ak je diskriminant menší ako 0, rovnica nemá v množine reálnych čísel riešenie, má však riešenie v množine komplexných čísel.

Riešenie kvadratickej rovnice

Riešenie kvadratickej rovnice pomocou diskriminantu udáva vzorec

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}}$

V prípade, že diskriminant sa rovná 0, kvadratická rovnica má jedno riešenie a z oboru reálnych čísel.

Ak je diskriminant väčší ako nula, riešením sú dve reálne čísla.

Ak je diskriminant menší ako nula, riešením rovnice sú dve združené komplexné čísla.

Ak je riešením kvadratickej rovnice reálne číslo, geometrickou interpretáciu je priesečník paraboly s osou x.

Praktické uplatnenie

Napriek tomu, že niekedy je riešením kvadratickej rovnice imaginárne číslo, toto riešenie vyjadruje fyzikálnu realitu, napríklad striedavý prúd, kde reálna zložka je činný výkon a imaginárna zložka je jalový výkon.

Kvadratickú rovnicu je možné vyriešiť pomocou rozkladu:

Príklad 1:

${\displaystyle 3x^{2}+6x-9=0/:3}$

${\displaystyle x^{2}+2x-3=0}$

${\displaystyle -b=x_{1}+x_{2}}$

${\displaystyle c=x_{1}.x_{2}}$

Dosadzujeme hodnoty, ktoré vyhovujú:

${\displaystyle -2=-3+1}$;

${\displaystyle -3=-3.1}$

${\displaystyle (x+3)(x-1)=0}$

${\displaystyle x_{1}=-3}$

${\displaystyle x_{2}=1}$

Skúška:

${\displaystyle x_{1}}$: ${\displaystyle 27-18-9=0}$

${\displaystyle x_{2}}$: ${\displaystyle 3+6-9=0}$

Kvadratická rovnica má v tomto prípade korene ${\displaystyle x_{1}=-3}$ a ${\displaystyle x_{2}=1}$.

Pozri aj

• Kvadratická funkcia

Externé odkazy

• www.vypocty.sk Riešenie kvadratickej rovnice.