Matica je určitá množina čísel alebo iných matematických objektov (tzv. prvkov matice) usporiadaných do pravidelných riadkov a stĺpcov (prípadne aj ich viacrozmerných ekvivalentov) a vyznačujúcich sa tým, že každý výpočtový úkon vykonávaný s maticou sa týka každého prvku tvoriaceho maticu.

Najčastejšie sa možno stretnúť s dvojrozmernou maticou. Ak treba zdôrazniť, že má ${\displaystyle m}$ riadkov a ${\displaystyle n}$ stĺpcov, hovorí sa o matici typu ${\displaystyle m}$ krát ${\displaystyle n}$. Ak treba zdôrazniť, že objekty v tejto tabuľke pochádzajú z množiny ${\displaystyle A}$ hovorí sa o matici nad množinou ${\displaystyle A}$. Príkladom matice typu 2 krát 5 nad množinou celých čísel môže byť

${\displaystyle {\begin{pmatrix}3&0&-6&4&11\\6&-1&4&1&13\\\end{pmatrix}}.}$

Prvky matice A zvyčajne označujeme ako ${\displaystyle a_{ij}}$, pričom i je číslo riadku a j stĺpca.

Matice sú obzvlášť dôležité v lineárnej algebre kde reprezentujú lineárne zobrazenia a slúžia k efektívnemu zápisu lineárnych rovníc. Pomocou matíc nad množinou ${\displaystyle \{0,1\}}$ sa reprezentujú konečné binárne relácie.

Operácie s maticami

Ak prvky dvoch matíc pochádzajú z vhodnej algebraickej štruktúry a ak sú splnené obmedzujúce podmienky týkajúce sa typu matíc, možno s maticami vykonávať rôzne operácie. Pre operáciu s maticami však neplatia všetky pravidlá platné pri počítaní s číslami, preto sa treba riadiť definíciami, ktoré maticové operácie určujú. Napríklad nie je jedno, v akom poradí sa násobia matice.

Sčítavanie matíc

Sčítavanie matíc môže prebiehať len vtedy, ak tieto dve matice majú rovnaký rozmer. Sčítavajú sa čísla na rovnakých pozíciách. Napríklad:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}}$

Skalárne násobenie

Každý prvok v matici A sa vynásobí číslom c. Napríklad:

${\displaystyle 2{\begin{bmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\times 1&2\times 8&2\times -3\\2\times 4&2\times -2&2\times 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&16&-6\\8&-4&10\end{bmatrix}}}$

Sčítanie a skalárne násobenie nemenia rozmer matíc.

Násobenie matíc

Násobenie môže prebiehať len vtedy, ak je počet stĺpcov ľavej matice rovnaký ako počet riadkov pravej matice. Ak A je m-krát-n matica a B je n-krát-r matica, tak ich maticový produkt AB má rozmery m-krát-r (m počet riadkov (ako v prvej matici) -krát- r počet stĺpcov (ako v druhej matici)). Výsledná hodnota na pozícií je:

${\displaystyle \,\!(AB)i,j=Ai,1B1,j+Ai,2B2,j+...+Ai,nBm,j}$

pre každé i a j.

Napríklad:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&2\\-1&3&1\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}3&1\\2&1\\1&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(1\times 3+0\times 2+2\times 1)&(1\times 1+0\times 1+2\times 0)\\(-1\times 3+3\times 2+1\times 1)&(-1\times 1+3\times 1+1\times 0)\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle ={\begin{bmatrix}5&1\\4&2\\\end{bmatrix}}}$

Pričom nie je jedno, v akom poradí sa to vykonáva, napríklad:

Zdroj:
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.

---