Trojčlenka je jednoduchá matematická metóda na výpočet priamej alebo nepriamej postupnosti veličiny ${\displaystyle b}$ v závislosti od veličiny ${\displaystyle a}$ podľa vzorca ${\displaystyle b=c.a}$, pričom ${\displaystyle c}$ je konštanta. Jednoducho povedané, veličiny ${\displaystyle a}$ a ${\displaystyle b}$ sú v priamej úmere. Ich podiel ${\displaystyle {\frac {b}{a}}}$ sa rovná konštante ${\displaystyle c}$. Ak sa veličina ${\displaystyle a}$ zdvojnásobí, prípadne strojnásobí, následkom toho sa zdvojnásobí, prípadne strojnásobí aj veličina ${\displaystyle b}$.

Úlohy

Riešenie klasickej úlohy s úmernými veličinami vyžaduje tri kroky. Výpočty môžeme robiť postupne alebo opísať obecne a vypočítať až na záver dosadením do vzorca.

Metóda postupného výpočtu

Dve mačky zjedia denne tri mäsové konzervy. Koľko mäsových konzerv zjedia denne štyri mačky? Krok 1 údaje: 2 mačky zjedia 3 konzervy. Krok 2 výsledok pre jednotku: 1 mačka zje ${\displaystyle {\frac {3}{2}}}$ konzervy. Krok 3 hľadaný výsledok: 4 mačky zjedia ${\displaystyle {\frac {3.4}{2}}}$ konzerv.

Odpoveď: 4 mačky zjedia denne 6 mäsových konzerv.

Trojčlenka v priamej úmernosti je založená na tom, že v druhom kroku vypočítame výsledok pre jednotku. Prechádzame od 2 mačiek k jednej a potom ku 4 mačkám.

Trojčlenka v nepriamej úmernosti

Trojčlenka v nepriamej úmernosti sa zakladá na tom, že veličina ${\displaystyle b}$ závisí od veličiny ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle a\neq 0}$ podľa vzorca, kde ${\displaystyle b={\frac {c}{a}}}$ je určitá konštanta (tj. nemenná hodnota).

Tým je povedané, že veličiny ${\displaystyle a}$ a ${\displaystyle b}$ sú nepriamo úmerné. Ich súčin ${\displaystyle a.b}$ je konštantný. Ak sa veličina ${\displaystyle a}$ zdvojnásobí, prípadne strojnásobí následkom toho sa dvakrát, prípadne trikrát zmenší veličina ${\displaystyle b}$.

Príklad na nepriamu úmernosť.

3 kombajny zožnú určité pole za 2 hodiny. Koľko času potrebuje na zožatie tohoto poľa 6 kombajnov? Krok 1 údaje: 3 kombajny potrebujú 2 h (hodiny). Krok 2 výsledok pre jednotku: 1 kombajn potrebuje ${\displaystyle 3.2}$ h. Krok 3 hľadaný výsledok: 6 kombajnov potrebuje ${\displaystyle {\frac {3.2}{6}}}$. Odpoveď: 6 kombajnov potrebuje na zožatie daného poľa 1 hodinu.

Taktiež aj tu je výpočet založený na fakte, že v druhom kroku vypočítame pre jednotku. Prechádzame od 3 kombajnov cez 1 kombajn ku 6 kombajnom.

Zložená trojčlenka

Zložená trojčlenka je založená na dvojitom použití trojčlenky jednoduchej. Doposiaľ sme sa zaoberali s dvoma premennými veličinami ${\displaystyle (a_{1},b_{1})}$ a ${\displaystyle (a_{2},b_{2})}$. V zložitej úmere máme dve trojice s tromi premennými veličinami ${\displaystyle (a_{1},b_{1},c_{1})}$ a ${\displaystyle (a_{2},b_{2},c_{2})}$. Hľadanou hodnotou je vždy ${\displaystyle c_{2}}$.

Postup výpočtu bol doposiaľ nasledujúci:

1. ${\displaystyle (a_{1},b_{1})}$ vzťah medzi hodnotami oboch veličín

2. ${\displaystyle (1,\approx )}$ výsledok pre jednotku

3. ${\displaystyle (a_{2},\approx )}$ dopočítanie údajov v druhej dvojici

Postup výpočtu spočíva teraz vo dvojitom výpočte výsledku pre jednotku a dvojitom dopočítaní druhej dvojice. To predstavuje 5 postupných výpočtových krokov:

1. ${\displaystyle (a_{1},b_{1},c_{1})}$ vzťah medzi hodnotami troch veličín

2. ${\displaystyle (1,b_{1},\approx )}$ výsledok pre jednotku odpovedajúcej ${\displaystyle a_{1}}$

3. ${\displaystyle (1,1,\approx )}$ výsledok pre jednotku odpovedajúcej ${\displaystyle b_{1}}$

4. ${\displaystyle (1,b_{2},\approx )}$ dopočítanie druhej dvojice z ${\displaystyle b_{2}}$

5. ${\displaystyle (a_{2},b_{2},\approx )}$ dopočítanie druhej dvojice

V zložitej trojčlenke rozlišujeme štyri prípady. V každom z nich počítame ${\displaystyle c_{1}}$, prípadne ${\displaystyle c_{2}}$, čo je vo výšie uvedenom uvedenom schémeta naznačené symbolom ${\displaystyle \approx )}$. Rozdiel spočíva v tom, že páry ${\displaystyle (a_{1},b_{1})}$ a ${\displaystyle (a_{2},b_{2})}$, ${\displaystyle (a_{1},c_{1})}$ a ${\displaystyle (a_{2},x)}$, ${\displaystyle (b_{1},c_{1})}$ a ${\displaystyle (b_{2},x)}$ sú priamo čí nepriamo úmerné.

Príklad 1)

5 osôb zje behom 3 raňajok 30 žemlí. Koľko žemlí zje 8 osôb behom 2 raňajok?

Krok 1: 5 osôb, 3 raňajky, 30 žemlí

Krok 2: 1 osoba, 3 raňajky, ${\displaystyle {\frac {30}{5}}}$ žemle

Krok 3: 1 osoba, 1 raňajky, ${\displaystyle {\frac {30}{5.3}}}$ žemle

Krok 4: 1 osoba, 2 raňajky, ${\displaystyle \frac{30.2}{}}$Zdroj:
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.

---