Riemannova zeta funkcia alebo Riemannova funkcia zeta je komplexná matematická funkcia pomenovaná po Bernhardovi Riemannovi a označovaná gréckym písmenom ζ, zohrávajúca mimoriadne dôležitú úlohu v analytickej teórii čísel. Má aplikácie aj vo fyzike, v teórii pravdepodobnosti a štatistike. Je ústredným pojmom v tzv. Riemannovej hypotéze, ktorá je jedným z najznámejších otvorených problémov v matematike.

Definícia

Riemannova zeta funkcia je definovaná ako súčet nekonečného radu

${\displaystyle \zeta (s)=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\ldots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},}$

ktorý konverguje pre všetky komplexné čísla s, ktorých reálna časť je väčšia ako 1. Riemann ale navrhol spôsob, ktorým je možné túto definíciu rozšíriť na všetky čísla komplexnej roviny rôzne od 1.

Riemannova zeta funkcia je meromorfná funkcia komplexnej premennej s, ktorá je holomorfná všade okrem bodu s = 1.

Celý článok...