Vícerozměrná náhodná proměnná nebo náhodný vektor je v teorii pravděpodobnosti a statistice seznam matematických proměnných, jehož žádná hodnota není známa, buď protože zatím nebyla pozorována, nebo protože její hodnotu neznáme přesně. Jednotlivé proměnné jsou sdružené v náhodném vektoru, protože tvoří části jednoho matematického systému – často reprezentují různé vlastnosti určité statistické jednotky. Pokud například chceme zachytit, že každá osoba má určitý věk, výšku a hmotnost, lze tyto vlastnosti blíže neurčené osoby z určité skupiny reprezentovat náhodným vektorem. Prvky náhodných vektorů jsou obvykle reálná čísla.

Náhodné vektory se často používají jako podkladová implementace různých typů agregátů náhodných proměnných, například náhodných matic, náhodných stromů, náhodných posloupností, náhodných procesů apod.

Formálněji vícerozměrná náhodná proměnná je sloupcový vektor ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},...,X_{n})^{T}}$ (nebo řádkový vektor, který je jeho transpozicí), jehož složkami jsou skalární náhodné proměnné, všechny na stejném pravděpodobnostním prostoru ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$, kde ${\displaystyle \Omega }$ je prostor elementárních jevů, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ je sigma algebra (kolekce všech událostí) a ${\displaystyle P}$ je pravděpodobnostní míra (funkce vracející pravděpodobnost každé události).

Pravděpodobnost rozdělení

Hodnoty náhodného vektoru vytváří pravděpodobnostní míru na ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ s borelovskou algebrou jako podkladovou sigma-algebrou, která definuje sdružené rozdělení pravděpodobnosti, sdružené rozdělení nebo vícerozměrné rozdělení náhodného vektoru.

Rozdělení pravděpodobnosti každé složky náhodného vektoru ${\displaystyle X_{i}}$ se nazývají marginální rozdělení. Podmíněné rozdělení pravděpodobnosti ${\displaystyle X_{i}}$ pro dané ${\displaystyle X_{j}}$ je rozdělení pravděpodobnosti ${\displaystyle X_{i}}$, je-li ${\displaystyle X_{j}}$ známé, aby byla určitý hodnota.

Distribuční funkce ${\displaystyle F_{\mathbf {X} }:\mathbb {R} ^{n}\mapsto \langle 0,1\rangle }$ náhodného vektoru ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},...,X_{n})^{T}}$ je definována jako^[1]:s.15

kde ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},...,x_{n})^{T}}$.

Operace s náhodnými vektory

S náhodnými vektory lze provádět stejné algebraické operace jako s obyčejnými vektory: sčítání, odčítání, násobení skalárem a skalární součin.

Afinní transformace

Podobně nový náhodný vektor ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ lze definovat aplikací afinní transformace ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ na náhodný vektor ${\displaystyle \mathbf {X} }$:

${\displaystyle \mathbf {Y} ={\mathcal {A}}\mathbf {X} +b}$, kde ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ je matice ${\displaystyle n\times n}$ a ${\displaystyle b}$ je sloupcový vektor ${\displaystyle n\times 1}$.

Pokud ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ je invertovatelná matice a ${\displaystyle \textstyle \mathbf {X} }$ má hustotu pravděpodobnosti ${\displaystyle f_{\mathbf {X} }}$, pak hustota pravděpodobnosti ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ je

${\displaystyle f_{\mathbf {Y} }(y)={\frac {f_{\mathbf {X} }({\mathcal {A}}^{-1}(y-b))}{|\det {\mathcal {A}}|}}}$.

Invertovatelná zobrazení

Obecněji můžeme studovat invertovatelná zobrazení náhodných vektorů.^{[2]:s.290–291}

Nechť ${\displaystyle g}$ je bijektivní zobrazení z otevřené podmnožiny ${\displaystyle {\mathcal {D}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ na podmnožinu $$Zdroj:https://cs.wikipedia.org?pojem=Náhodný_vektor
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.