Na rozdíl od běžné aritmetiky je modulární aritmetika definována na nějaké konečné množině ℤ_n. Tato množina vznikne ze ℤ tak, že jsou všechna čísla se stejným zbytkem po dělení číslem ${\displaystyle n}$ (zbytková třída) brána jako kongruentní a ztotožněna s jediným reprezentantem. Taková množina se pak nazývá množina zbytkových tříd.

Zbytková třída

Zbytkovou třídou modulo n rozumíme množinu všech celých čísel, které při dělení přirozeným číslem n dávají stejný zbytek. Tuto množinu pak můžeme chápat jako jeden celek a celá čísla, která obsahuje, již dál nerozlišovat. Například jedna ze zbytkových tříd modulo 10 je tvořena množinou ${\displaystyle \{2,12,22,32,...\}}$, jiná zbytková třída (rovněž) modulo 10 obsahuje např. prvky ${\displaystyle \{7,17,27,-3,-13,-1234567893,1147,...\}}$.

Číselné kongruence modulo n

Pro libovolné ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,a,b\in \mathbb {Z} }$ definujme relaci ${\displaystyle \phi _{n}}$ takto: ${\displaystyle (a,b)\in \phi _{n}\Leftrightarrow n|a-b}$. Čísla ${\displaystyle a,b}$ se nazývají kongruentní modulo n a relace ${\displaystyle \phi _{n}}$ se nazývá číselná kongruence modulo n. Značíme ${\displaystyle a\equiv b(mod\ n)}$. Relace ${\displaystyle \phi _{n}}$ je reflexivní, symetrická a transitivní, je tedy relací ekvivalence. Znaménko ${\displaystyle \equiv }$ tedy můžeme používat podobně jako znaménko =. Rovnosti v modulární aritmetice se obvykle zapisují jako kongruence a značí se trojčárkou: a + b ≡ b + a (mod n)

Obecně vzato, rozklad, který kongruence ${\displaystyle \phi _{n}}$ na ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ vytváří má n tříd, pro které platí: ${\displaystyle _{\phi _{n}}=\{k\cdot n|k\in \mathbb {Z} \},_{\phi _{n}}=\{1+k\cdot n|k\in \mathbb {Z} \},\dots ,_{\phi _{n}}=\{(n-1)+k\cdot n|k\in \mathbb {Z} \}.}$

Množina zbytkových tříd

Množinu všech zbytkových tříd pro dané ${\displaystyle n}$ značíme ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}=\{_{n}|a\in \mathbb {Z} \}}$ ,kde ${\displaystyle _{n}=\{b|b\equiv a(mod\ n)\}}$. Pro jednoduchost píšeme jen ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}=\{0,1,\dots ,n-1\}}$.

Základní vlastnosti modulární aritmetiky

Zavedená ekvivalence mezi prvky tvoří na okruhu (ℤ,+,·,0,1) kongruenci, tedy ∀a,b,n∈ℤ

• ${\displaystyle (a\;{\bmod {\;}}n+b\;{\bmod {\;}}n)\;{\bmod {\;}}n=(a+b)\;{\bmod {\;}}n}$
• ${\displaystyle (a\;{\bmod {\;}}n-b\;{\bmod {\;}}n)\;{\bmod {\;}}n=(a-b)\;{\bmod {\;}}n}$
• ${\displaystyle (a\;{\bmod {\;}}n\cdot b\;{\bmod {\;}}n)\;{\bmod {\;}}n=(a\cdot b)\;{\bmod {\;}}n}$

Proto je možné při výpočtech vzájemně zaměňovat prvky ve stejných třídách. Pro zjednodušení se nejčastěji používá vždy nejmenší nezáporné číslo.

${\displaystyle (\mathbb {Z} _{n},+)}$ a ${\displaystyle (\mathbb {Z} _{p}\smallsetminus \{0\},\cdot )}$ tvoří komutativní grupy pro kladné celé n a pro prvočíselné p. Například pro ${\displaystyle \mathbb {Z} _{5}}$ mají Cayleyovy tabulky tvar:

Další operaceeditovat | editovat zdroj

Na ℤ_n lze přirozeně dodefinovat i další operace:

• opačné číslo, jako inverzní operaci vzhledem ke sčítání
• odčítání, jako součet s opačným číslem
• mocnění, jako iterace násobení
• odmocnina a logaritmus, jako inverzní operace k mocnění

Pokud je n prvočíslo, pak ℤ_n tvoří těleso, protože pro každý nenulový prvek existuje inverzní prvek (vzhledem k násobení). Dělení se pak definuje jako násobení inverzním prvkem.

Operace dělení a diskrétní logaritmus v modulární matematice se nechovají stejně jako v klasické aritmetice a tedy není možné jejich výsledky přímo převést do ℤ_n jako u sčítání a násobení.

Aplikaceeditovat | editovat zdroj

Lidem je přirozenější klasická aritmetika, avšak modulární aritmetika má řadu výhod. Díky tomu, že je zde množina čísel konečná, jsou běžné operace jednodušší, rychlejší a potřebují konstantní množství paměti. Toho se využívá v počítačích, kde bývá typ "celých čísel" obvykle implementován v modulární aritmetice (nejčastěji ${\displaystyle n=2^{32}}$).

Na druhou stranu pro některé funkce není znám efektivní algoritmus (diskrétní logaritmus, faktorizace), čehož se často využívá v kryptografii.

Odkazyeditovat | editovat zdroj

Literaturaeditovat | editovat zdroj

• Hort D., Rachůnek J.; Algebra 1. UP Olomouc, 2003
• Rachůnek J.; Grupy a okruhy, UP Olomouc, 2005

Související článkyeditovat | editovat zdroj

• zbytek po dělení
• teorie čísel
• okruh (algebra)

Externí odkazyeditovat | editovat zdroj

• Obrázky, zvuky či videa k tématu modulární aritmetika na Wikimedia Commons

Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace. Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty. Zdroj:https://cs.wikipedia.org?pojem=Množina_zbytkových_tříd Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.  Navigácia: Veda > Analytika Antropológia Aplikované vedy Bibliometria Dejiny vedy Encyklopédie Filozofia vedy Forenzné vedy Humanitné vedy Knižničná veda Kryogenika Kryptológia Kulturológia Literárna veda Medzidisciplinárne oblasti Metódy kvantitatívnej analýzy Metavedy Metodika Metodológia vedy Náboženstvo a veda Náučná literatúra Podvody vo vede Popularizácia vedy Potravinárstvo Prírodné vedy Pseudoveda Scientometria Spoločenské vedy Teórie Teatrológia Technické vedy Technika Terminológia Umenie Výskum Veda Veda a technika podľa štátu Veda a technika podľa kontinentu Veda a technika podľa roka Veda v kozme Vedci Vedecká literatúra Vedecké databázy Vedecké experimenty Vedecké konferencie Vedecké metódy Vedecké ocenenia Vedecké organizácie Vedecké parky Vedeckí spisovatelia Vzdelávanie Záhady Príbuzné výrazy: Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia. www.astronomia.sk | www.biologia.sk | www.botanika.sk | www.dejiny.sk | www.economy.sk | www.elektrotechnika.sk | www.estetika.sk | www.farmakologia.sk | www.filozofia.sk | Fyzika | www.futurologia.sk | www.genetika.sk | www.chemia.sk | www.lingvistika.sk | www.politologia.sk | www.psychologia.sk | www.sexuologia.sk | www.sociologia.sk | www.veda.sk I www.zoologia.sk