A | B | C | D | E | F | G | H | CH | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
Malá Fermatova věta je matematická věta, která tvrdí, že pro každé prvočíslo p a každé celé číslo a platí
To znamená, že číslo je dělitelné prvočíslem p.
- Pokud NSD(a,p) = 1, pak platí také tvar
- .
Symbol ≡ pochází z modulární aritmetiky a zápis se čte "je kongruentní s" (v modulo p).
Věta je nazvána podle francouzského matematika Pierra de Fermat (1601–1665); přívlastek malá ji odlišuje od Velké Fermatovy věty. Využívá se například pro Fermatův test prvočíselnosti.
Zobecnění
Pro libovolná přirozená čísla a taková, že NSD(a,n) = 1, platí
- , kde je Eulerova funkce.
Příklad
- Buď p=5, a=2. Jelikož 5 je prvočíslo a 2 není násobek 5, má podle malé Fermatovy věty platit, že je dělitelné 5. Vskutku, je dělitelné 5.
Důkazy
Důkaz indukcí
Buď a nechť pro přirozená . Pak (ostatní členy v binomickém rozvoji jsou dělitelné ) a podle indukčního předpokladu . Tedy , neboli . Tedy tvrzení platí pro . Dále pro platí , což plyne opět z binomického vzorce. Zbývá si uvědomit, že libovolné číslo , které není násobkem , je možno napsat jako , kde . Tedy .
Elementární důkaz
Mějme různých písmen (nějaké) abecedy a uvažujme množinu všech slov o písmenech z oné abecedy (nad onou abecedou), kde je prvočíslo. Takových slov je zřejmě . Buď .
Rozdělme tuto množinu slov do menších podmnožin takovým způsobem, že slovo právě když . Buď nejmenší takové, že . Zřejmě , proto buď anebo . Tedy každá z těchto podmnožina může mít buď jeden prvek (pokud se v slově opakuje p krát jedno písmeno), anebo p prvků (v ostatních případech). Jednoprvkových množin je však , neboť jsou to právě množiny
Antropológia
Aplikované vedy
Bibliometria
Dejiny vedy
Encyklopédie
Filozofia vedy
Forenzné vedy
Humanitné vedy
Knižničná veda
Kryogenika
Kryptológia
Kulturológia
Literárna veda
Medzidisciplinárne oblasti
Metódy kvantitatívnej analýzy
Metavedy
Metodika
Text je dostupný za podmienok Creative
Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších
podmienok.
Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky
použitia.
www.astronomia.sk | www.biologia.sk | www.botanika.sk | www.dejiny.sk | www.economy.sk | www.elektrotechnika.sk | www.estetika.sk | www.farmakologia.sk | www.filozofia.sk | Fyzika | www.futurologia.sk | www.genetika.sk | www.chemia.sk | www.lingvistika.sk | www.politologia.sk | www.psychologia.sk | www.sexuologia.sk | www.sociologia.sk | www.veda.sk I www.zoologia.sk